Question

(本小題滿分14分)
設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上，恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”．已知．
(1)若為區(qū)間上的“凸函數(shù)”，試確定實(shí)數(shù)的值；
(2)若當(dāng)實(shí)數(shù)滿足時(shí)，函數(shù)在上總為“凸函數(shù)”，求的最大值．

Answer 1

解：由函數(shù)得， …………3分
(Ⅰ) 若為區(qū)間上的“凸函數(shù)”，則有在區(qū)間上恒成立，由二次函數(shù)的圖像，當(dāng)且僅當(dāng)
，
即． …………………………………………………7分
(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)時(shí)，恒成立．…………………8分
當(dāng)時(shí)，顯然成立。   ………………………9分
當(dāng)，
∵的最小值是．
∴．
從而解得      ……………………………………11分
當(dāng)，
∵的最大值是，∴，
從而解得．                  ……………………………13分
綜上可得，從而        ……………14分

略