Question

若f（x）滿足任意x，y（x，y≠0）都有f（

x

y

）=f（x）-f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，求不等式f（x-1）＜0；
（3）f（x）是定義在R上的函數(shù)，判斷f（x）的奇偶性．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：規(guī)律型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）賦值法，令x=y=1即可求的，（2）將不等式f（x-1）＜0轉(zhuǎn)化為f（x-1）＜f（1），然后利用函數(shù)單調(diào)性去函數(shù)符號求解，（3）令x=1，y=-1．可得f（-1）=0，然后令y=-1可求出函數(shù)奇偶性．

解答： 解：（1）由題意，令x=y=1得f（1）=f（1）-f（1）=0；
（2）由（1）得f（1）=0，
則不等式f（x-1）＜0即為f（x-1）＜f（1），
又由題意f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
所以有x-1＜1，解得x＜2；
（3）f（x）是定義在R上的函數(shù)，關(guān)于y軸對稱，
令x=1，y=-1．可得f（-1）=0．
令y=-1可得f（-x）=f（x）-f（-1）=f（x），
所以f（x）為偶函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，利用賦值法求解即可．