【題目】已知函數(shù).
(1)判斷的單調(diào)性并寫出證明過(guò)程;
(2)當(dāng)時(shí),關(guān)于x的方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解,求a的取值范圍.
【答案】(1)在R上遞增,證明見(jiàn)解析;(2)或.
【解析】
(1)先判斷函數(shù)的奇偶性,再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,作差比較大小即可求證明;
(2)根據(jù)(1)中所求單調(diào)性,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)問(wèn)題,利用之間的關(guān)系進(jìn)行換元,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)零點(diǎn)的分布問(wèn)題即可求得.
(1)在R上遞增.
證明:,恒成立,的定義域?yàn)?/span>R.
令,,
是奇函數(shù).
令,,
,
在上遞增,又是R上連續(xù)不斷的奇函數(shù),
在R上遞增.
(2)由(1)得
且在R上遞增.
整理得,在上有唯一實(shí)數(shù)解
構(gòu)造,,.
令,則,
,
在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),無(wú)零點(diǎn).
又,在上為增函數(shù).
ⅰ)若在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),無(wú)零點(diǎn).
則
ⅱ)若為的零點(diǎn),無(wú)零點(diǎn),
則,
又,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
綜上所述:或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】共享單車給市民出行帶來(lái)了諸多便利,某公司購(gòu)買了一批單車投放到某地給市民使用,
據(jù)市場(chǎng)分析,每輛單車的營(yíng)運(yùn)累計(jì)利潤(rùn)y(單位:元)與營(yíng)運(yùn)天數(shù)x滿足函數(shù)關(guān)系
式.
(1)要使?fàn)I運(yùn)累計(jì)利潤(rùn)高于800元,求營(yíng)運(yùn)天數(shù)的取值范圍;
(2)每輛單車營(yíng)運(yùn)多少天時(shí),才能使每天的平均營(yíng)運(yùn)利潤(rùn)的值最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,且四棱錐P-ABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
()當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間和極值.
()若對(duì)于任意,都有成立,求的取值范圍 ;
()若且證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線, (為參數(shù), 為傾斜角).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的直角坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)將曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,直線與曲線的交點(diǎn)為、,求的取值范圍.
【答案】(I);(II).
【解析】試題分析:(Ⅰ)將由代入,化簡(jiǎn)即可得到曲線的極坐標(biāo)方程;(Ⅱ)將的參數(shù)方程代入,得,根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義,利用韋達(dá)定理結(jié)合輔助角公式,由三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.
試題解析:(Ⅰ)由及,得,即
所以曲線的極坐標(biāo)方程為
(II)將的參數(shù)方程代入,得
∴, 所以,又,
所以,且,
所以,
由,得,所以.
故的取值范圍是.
【題型】解答題
【結(jié)束】
23
【題目】已知、、均為正實(shí)數(shù).
(Ⅰ)若,求證:
(Ⅱ)若,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知離心率為的橢圓焦點(diǎn)在軸上,且橢圓個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)為橢圓上一點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)).求當(dāng)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某城鎮(zhèn)社區(qū)為了豐富轄區(qū)內(nèi)廣大居民的業(yè)余文化生活,創(chuàng)建了社區(qū)“文化丹青”大型活動(dòng)場(chǎng)所,配備了各種文化娛樂(lè)活動(dòng)所需要的設(shè)施,讓廣大居民健康生活、積極向上.社區(qū)最近四年內(nèi)在“文化丹青”上的投資金額統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表:(為了便于計(jì)算,把2015年簡(jiǎn)記為5,其余以此類推)
年份(年) | 5 | 6 | 7 | 8 |
投資金額(萬(wàn)元) | 15 | 17 | 21 | 27 |
(1)利用所給數(shù)據(jù),求出投資金額與年份之間的回歸直線方程;
(2)預(yù)測(cè)該社區(qū)在2019年在“文化丹青”上的投資金額.
(附:對(duì)于一組數(shù)據(jù), ,…, ,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為, .)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了展示中華漢字的無(wú)窮魅力,傳遞傳統(tǒng)文化,提高學(xué)習(xí)熱情,某校開(kāi)展《中國(guó)漢字聽(tīng)寫大會(huì)》的活動(dòng).為響應(yīng)學(xué)校號(hào)召,2(9)班組建了興趣班,根據(jù)甲、乙兩人近期8次成績(jī)畫出莖葉圖,如圖所示(把頻率當(dāng)作概率).
(1)求甲、乙兩人成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù);
(2)現(xiàn)要從甲、乙兩人中選派一人參加比賽,從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度,你認(rèn)為派哪位學(xué)生參加比較合適?
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