Question

【題目】數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an2+6an+6（n∈N×）
（1）設Cn=log5（an+3），求證{Cn}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）設bn= ﹣ ，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn ， 求證：﹣ ≤Tn＜﹣ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由an+1=an2+6an+6得an+1+3=（an+3）2，

∴ =2 ，即cn+1=2cn

∴{cn}是以2為公比的等比數(shù)列．

（2）解：又c1=log55=1，

∴cn=2n﹣1，即 =2n﹣1，

∴an+3=

故an= ﹣3

（3）解：∵bn= ﹣ = ﹣ ，∴Tn= ﹣ =﹣ ﹣ ．

又0＜ = ．

∴﹣ ≤Tn＜﹣

【解析】（1）由已知可得，an+1+3=（an+3）2 ， 利用構造法令Cn=log5（an+3），則可得 ，從而可證數(shù)列{cn}為等比數(shù)列；（2）由（1）可先求數(shù)列cn ， 代入cn=log5（an+3）可求an；（3）把（2）中的結果代入整理可得， ，則代入Tn=b1+b2+…+bn相消可證
【考點精析】關于本題考查的等比關系的確定和數(shù)列的前n項和，需要了解等比數(shù)列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷；數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能得出正確答案．