一個建設(shè)集團公司共有3n(n≥2,n∈N*)個施工隊,編號分別為1,2,3,…3n.現(xiàn)有一項建設(shè)工程,因為工人數(shù)量和工作效率的差異,經(jīng)測算:如果第i(1≤i≤3n)個施工隊每天完成的工作量都相等,則它需要i天才能獨立完成此項工程.
(1)求證第n個施工隊用m(1≤m<n,m∈N*)天完成的工作量不可能大于第n+k(1≤k≤2n)個施工隊用m+k天完成的工作量;
(2)如果該集團公司決定由編號為n+1,n+2,…,3n共2n個施工隊共同完成,求證它們最多不超過兩天即可完成此項工作.
證明:(1)依題意,第i(1≤i≤3n)個施工隊的工作效率為
1
i
…1分
故本題即是證明當1≤m<n,m∈N*且1≤k≤2n時,
m
n
m+k
n+k
…3分
m
n
-
m+k
n+k
=
mn+mk-mn-nk
n(n+k)
=
(m-n)k
n(n+k)

當1≤m<n,m∈N*且1≤k≤2n時,
(m-n)k
n(n+k)
<0
顯然成立,故命題得證.…6分
(2)要證明此命題,即是證明2(
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n
)>1(n≥2,n∈N*),
也就是證明:
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n
1
2
(n≥2,n∈N*).…9分
[法一]:利用數(shù)學歸納法:
(1)當n=2時,左邊=
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
1
2
,不等式成立.
(2)假設(shè)當n=k(k≥2,k∈N*)時不等式成立.
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
3k
1
2

則當n=k+1時,
1
?k+1?+1
+
1
?k+1?+2
+…+
1
3k
+
1
3k+1
+
1
3k+2
+
1
3k+3
=
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
3k
+(
1
3k+1
+
1
3k+2
+
1
3k+3
-
1
k+1
)>
1
2
+(3×
1
3k+3
-
1
k+1
)=
1
2

所以當n=k+1時不等式也成立,
由(1),(2)知原不等式對一切n≥2,n∈N*均成立.…14分
[法二]利用放縮法:
∵n≥2,
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n
1
3n
+
1
3n
+…+
1
3n
=
2
3
1
2

1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n
1
2
(n≥2,n∈N*).…14分.
練習冊系列答案
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C.m3=n3或m3<n3D.m3=n3且m3<n3

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A.k2+1
B.(k+1)2
C.
D.(k2+1)+(k2+2)+ +(k+1)2

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……
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A.(k+3)3B.(k+2)3
C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3

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