Question

如圖，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AD=BC=2，對角線AC⊥BD于O，∠DAO=60°，且PO⊥平面ABCD，直線PA與底面ABCD所成的角為60°，M為PD上的一點(diǎn)。

（Ⅰ）證明：PD⊥AC；

（Ⅱ）求二面角A―PB―D的大��；

（Ⅲ）若DM : MP=k，則當(dāng)k為何值時，直線PD⊥平面ACM？

Answer 1

解：（I）∵PO⊥平面ABCD

∴DO為DP在平面ABCD內(nèi)的射影

又AC⊥BD ∴AC⊥PD

（Ⅱ）方法1：過O作ON⊥PB于N，連結(jié)AN。

∵PO⊥平面ABCD，又平面ABCD，∴PO⊥AO 

由已知AO⊥BD，BD∩PO=O   ∴AO⊥平面PBD。

∴ON為AN在平面PBD內(nèi)的射影，∴PB⊥AN.

∴∠ANO為二面角A―PB―D的平面角。

在Rt△AOD中，AO=1。

∵PO⊥平面ABCD，

∴OA為PA在底面ABCD內(nèi)的射影

∴∠PAO為直線PA與底面ABCD所成的角，

∴∠PAO=60°   ∴Rt△POA中，PO=

∵四邊形ABCD為等腰梯形

∴△ABD≌△BAC   ∴∠ABD=∠BAC  ∴OA=OB=1            

在Rt△POB中，PB=2

∴

在Rt△AON中，

   

∴二面角A―PB―D的大小為     

方法2：

如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為x軸，

y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

A（0，－1，0），B（1，0，0）

P（0，0，  O（0，0，0）

∵PO⊥平面ABCD

又AO平面ABCD，∴PO⊥AO 

由已知AO⊥BD，BD∩PO=O   ∴AO⊥平面PBD。    

∴為平面PBD的法向量。  ∴

設(shè)為平面PAB的法向量。

則

∴二面角A―PB―D的大小為

（Ⅲ）當(dāng)DM：MP=1時，直線PD⊥平面ACM

 

∵PO⊥平面ABCD，

∴OA為PA在底面ABCD內(nèi)的射影。

∴∠PAO為直線PA與底面ABCD所成的角，

∠PAO=60°

又∵在Rt△AOD中，∠DAO=60°

∴Rt△AOD≌Rt△AOP�！郃D=AP。

∵PM=MD，∴PD⊥AM 

由（Ⅰ）可知PD⊥AC

∵AM∩AC=A   ∴直線PD⊥平面ACM