如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的頂點為A1，A2，B1，B2，焦點為F1，F(xiàn)2，，|A1B1|=
7
，S?A1B1A2B2=2S?B1F1B2F2
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設n是過原點的直線，l是與n垂直相交于P點、與橢圓相交于A，B兩點的直線，且|
OP
|=1，是否存在上述直線l使
AP
•
PB
=1成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
（Ⅰ）由|A1B1|=
7
知a2+b2=7，①
由S□A1B1A2B2=2S□B1F1B2F2 知a=2c，②
又b2=a2-c2③
由①②③解得a2=4，b2=3，
故橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）設A，B兩點的坐標分別為（x1，y1）（x2，y2）
若l垂直于x軸時，p點即是右焦點（1，0），此時不滿足
AP
•
PB
=1，直線l的方程不存在．
若l不垂直于x軸時，設l的方程為y=kx+m，
由l與n垂直相交于P點且|
OP
|=1得
|m|
1+k2
=1，即m2=k2+1 ④
∵
AP
•
PB
=1，|
OP
|=1，得知OA⊥OB所以x1x2+y1y2=0，
由
x2
4
+
y2
3
=1
y=kx+m
得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，
x1x2=
4m2-12
3+4k2
，x1+x2=
-8km
3+4k2
，
又y1•y2=（kx1+m）（kx2+m）=
3m2-12k2
3+4k2
，代入x1x2+y1y2=0中得7m2-12k2-12=0．⑤
由④⑤可知無解．所以此時l不存在．
故不存在直線方程使
AP
•
PB
=1成立．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E經(jīng)過點A（2，3），對稱軸為坐標軸，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求∠F1AF2的平分線所在直線l的方程；
（3）在橢圓E上是否存在關于直線l對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，⊙O：x2+y2=16，A（-2，0），B（2，0）為兩定點，l是⊙O的一條動切線，若過A，B兩點的拋物線以直線l為準線，則拋物線焦點所在的軌跡是（　　）
A．雙曲線B．橢圓C．拋物線D．圓

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

過點（0，1）引直線與雙曲線x2-y2=1只有一個公共點，這樣的直線共有（　�。�
A．1條B．2條C．3條D．4條

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設拋物線y2=8x的準線與x軸交于點Q，若過Q點的直線l與拋物線有公共點，求直線l的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知直線L過點P（2，0），斜率為
4
3
，直線L和拋物線y2=2x相交于A，B兩點，設線段AB的中點為M，求：
（1）P，M兩點間的距離/PM/：（2）M點的坐標；（3）線段AB的長．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的一個焦點為(
2
，0)，且長軸長為短軸長的
3
倍．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設橢圓的下頂點為A，且橢圓與直線y=kx+m（k≠0）相交于不同的兩點M，N．當|AM|=|AN|時，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓焦距為2，離心率為
1
2

（1）求橢圓的標準方程
（2）若直線l過點（1，2）且傾斜角為45°且與橢圓相交于A，B兩點，求弦長|AB|．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1（-1，0）、F2（1，0），O是坐標原點，C的右頂點和上頂點分別為A、B，且△AOB的面積為
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點P（4，0）作與x軸不重合的直線l與C交于相異兩點M、N，交y軸于Q點，證明
|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
為定值，并求這個定值．

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