已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是110,前20項(xiàng)的和是20.求此等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn,并求出當(dāng)n為何值時(shí),Sn最大,最大值是多少?
分析:設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差,根據(jù)題意利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的房產(chǎn)證,求出方程組的解得到首項(xiàng)與公差的值,把首項(xiàng)和公差代入求和公式得到Sn關(guān)于n的二次函數(shù),由二次項(xiàng)系數(shù)小于0,得到拋物線開(kāi)口向下,有最大值,配方后根據(jù)二次函數(shù)取最值的方法即可得到Sn的最大值,以及此時(shí)n的值.
解答:解:設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d,(1分)
S10=10a1+45d=110
S20=20a1+190d=20
,(2分)
所以a1=20,d=-2,
所以Sn=-n2+21n,(5分)
Sn=-n2+21n=-(n-
21
2
)2+
441
4
,n∈N*
所以當(dāng)n=10或n=11時(shí),Sn最大,最大值S10=S11=110.(8分)
點(diǎn)評(píng):此題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,等差數(shù)列的性質(zhì),以及二次函數(shù)的性質(zhì),本題的思路為:由題意確定出首項(xiàng)和公差后,進(jìn)而確定出求和公式Sn,利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出Sn的最大值,并求出此時(shí)n的值,特別注意n為正整數(shù)這個(gè)隱含條件.靈活運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式是解本題的關(guān)鍵.
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