Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，離心率為；圓過橢圓的三個頂點.過點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）證明：在軸上存在定點，使得為定值；并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（Ⅰ）設圓過橢圓的上、下、右三個頂點，可求得，再根據(jù)橢圓的離心率求得，可得橢圓的方程；（Ⅱ）設直線的方程為，將方程與橢圓方程聯(lián)立求得兩點的坐標，計算得 ．設x軸上的定點為，可得，由定值可得需滿足，解得可得定點坐標．

試題解析：

（Ⅰ）依題意，不妨設圓過橢圓的上、下、右三個頂點，

令，解得，故，

又，

∴，

∴，

解得．

∴橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）證明：

由題意設直線的方程為，

由消去y整理得，

設，，

則，，

假設x軸上的定點為，

則

.

要使其為定值，需滿足，

解得.

故定點的坐標為.