【題目】設平面直角坐標系xOy中,曲線G:y= + x﹣a2(x∈R),a為常數(shù).
(1)若a≠0,曲線G的圖象與兩坐標軸有三個交點,求經(jīng)過這三個交點的圓C的一般方程;
(2)在(1)的條件下,求圓心C所在曲線的軌跡方程;
(3)若a=0,已知點M(0,3),在y軸上存在定點N(異于點M)滿足:對于圓C上任一點P,都有 為一常數(shù),試求所有滿足條件的點N的坐標及該常數(shù).
【答案】
(1)解:令x=0,得曲線與y軸的交點是(0,﹣a2),
令y=0,則 + x﹣a2=0,解得x=﹣2a或x=a,
∴曲線與x軸的交點是(﹣2a,0),(a,0).
設圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則 ,
解得D=a,E=a2﹣2,F(xiàn)=﹣2a2,
∴圓的一般方程為x2+y2+ax+(a2﹣2)y﹣2a2=0;
(2)解:由(1)可得C(﹣ , )
設C(x,y),則x=﹣ ,y= ,消去a,得到y(tǒng)=1﹣2x2,
∵a≠0,
∴x≠0,
∴圓心C所在曲線的軌跡方程為y=1﹣2x2(x≠0)
(3)解:若a=0,圓C的方程為x2+(y﹣1)2=1,
令x=0,得到圓C與y軸交于點(0,0),(0,2)
由題意設y軸上的點N(0,t)(t≠3),
當P與圓C的交點為(0,2)時, = ,
當P與圓C的交點為(0,0)時, = ,
由題意, = ,∴t= (t=3舍去)
下面證明點N(0, ),對于圓C上任一點P,都有 為一常數(shù)
設P(x,y),則x2+(y﹣1)2=1,
∴ = = ,
∴ = ,
∴在y軸上存在定點N(0, ),滿足:對于圓C上任一點P,都有 為一常數(shù)
【解析】(1)求出曲線G的圖象與兩坐標軸有三個交點,利用待定系數(shù)法求經(jīng)過這三個交點的圓C的一般方程;(2)由(1)可得C(﹣ , ),消去a,求圓心C所在曲線的軌跡方程;(3)令x=0,得到圓C與y軸交于點(0,0),(0,2),由此求出點N(0, ),對于圓C上任一點P,都有 為一常數(shù),再進行證明即可.
【考點精析】本題主要考查了圓的一般方程的相關知識點,需要掌握圓的一般方程的特點:(1)①x2和y2的系數(shù)相同,不等于0.②沒有xy這樣的二次項;(2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F,因之只要求出這三個系數(shù),圓的方程就確定了;(3)、與圓的標準方程相比較,它是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯,圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小,幾何特征較明顯才能正確解答此題.
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【題目】設,已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個零點, 為的導函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設,函數(shù),求證: ;
(Ⅲ)求證:存在大于0的常數(shù),使得對于任意的正整數(shù),且 滿足.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+(1﹣k)x﹣k恰有一個零點在區(qū)間(2,3)內(nèi),則實數(shù)k的取值范圍是
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【題目】隨著我市九龍江南岸江濱路建設的持續(xù)推進,未來市民將新增又一休閑好去處,據(jù)悉南江濱路建設工程規(guī)劃配套建造一個長方形公園ABCD,如圖所示,公園由長方形的休閑區(qū)A1B1C1D1(陰影部分)和環(huán)公園人行道組成,已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4000m2 , 人行道的寬度分別為4m和10m.
(1)若休閑區(qū)的長A1B1=x m,求公園ABCD所占面積S關于x的函數(shù)S(x)的解析式;
(2)要使公園所占面積最小,休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬該如何設計?
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【題目】已知函數(shù),曲線在點處的切線與直線垂直(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
(I)求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間;
(II)是否存在常數(shù),使得對于定義域內(nèi)的任意恒成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】某職稱晉級評定機構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進行了統(tǒng)計,繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),規(guī)定80分及以上者晉級成功,否則晉級失敗(滿分為100分).
(1)求圖中的值;
(2)估計該次考試的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點值代表);
(3)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有85%的把握認為“晉級成功”與性別有關?
(參考公式: ,其中)
0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【題目】圓x2+y2=1上任意一點P,過點P作兩直線分別交圓于A,B兩點,且∠APB=60°,則|PA|2+|PB|2的取值范圍為___.
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【題目】已知橢圓的左焦點的離心率為是和的等比中項.
(1)求曲線的方程;
(2)傾斜角為的直線過原點且與交于兩點,傾斜角為的直線過且與交于兩點,若,求的值.
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