Question

已知S_n是數(shù)列的前n項(xiàng)和；
（1）分別計(jì)算S₂-S₁，S₄-S₂，S₈-S₄的值；
（2）證明：當(dāng)n≥1時(shí)，，并指出等號(hào)成立條件；
（3）利用（2）的結(jié)論，找出一個(gè)適當(dāng)?shù)腡∈N，使得S_r＞2008．

Answer 1

【答案】分析：（1）較為簡(jiǎn)單，代入可計(jì)算；
（2）由（1）可猜想（2）的結(jié)論也是成立的，證明時(shí)要適當(dāng)?shù)姆趴s每一項(xiàng)（共2^n-1項(xiàng)）都縮小為 ，
（3）的解答可由（2）的結(jié)論想到：新數(shù)列S₂-S₁，S₄-S₂，S₈-S₄…中每一項(xiàng)的值都大于等于 ，那么4018項(xiàng)的和為2009，于是對(duì)于數(shù)列{a_n}中連同a₁就有2⁴⁰¹⁹項(xiàng)，即a₁+＞1+2009=2010．
解答：解：
（1）S₂-S₁=，
S₄-S₂=，
S₈-S₄=．（2分）
（2）當(dāng)n≥1時(shí)，=+…+（共2^n-1項(xiàng)）
≥×2^n-1=，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，等號(hào)成立．（4分）
（3）由于S₁=1，當(dāng)n≥1時(shí)，≥，
于是，要使得S_T＞2008，只需 ＞2007．
將 按照第一組2¹項(xiàng)，第二組2²項(xiàng)，，第n組2ⁿ項(xiàng)的方式分組（6分）
由（2）可知，每一組的和不小于 ，且只有n=1時(shí)等于 ，
將這樣的分組連續(xù)取2×2007組，加上a₁，共有2⁴⁰¹⁵項(xiàng)，
這2⁴⁰¹⁵項(xiàng)之和一定大于1+2007=2008，
故只需T=2⁴⁰¹⁵，就能使得S_T＞2008．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列前n項(xiàng)和的概念，不等式恒成立問(wèn)題，合理猜想與邏輯推理的概念．對(duì)不等式的考查有一定的難度，綜合性較強(qiáng)，需要同學(xué)有深厚的功底才能勝任本題的解答．