Question

某種波的傳播是由曲線f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）來實現(xiàn)的，我們把函數(shù)解析式f（x）=Asin（ωx+φ）稱為“波”，把振幅都是A 的波稱為“A類波”，把兩個解析式相加稱為波的疊加．
（1）已知“1 類波”中的兩個波f₁（x）=sin（x+φ₁）與f₂（x）=sin（x+φ₂）疊加后仍是“1類波”，求φ₂-φ₁的值；
（2）在“A類波“中有一個是f₁（x）=sinx，從 A類波中再找出兩個不同的波（每兩個波的初相φ都不同）使得這三個不同的波疊加之后是“平波”，即疊加后y=0，并說明理由．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先對函數(shù)的關(guān)系式進行恒等變換進一步求出函數(shù)中角的大�。�
（2）利用（1）的結(jié)論再對函數(shù)關(guān)系式進行變換最后證明出函數(shù)時平波．

解答： 解：（1）f₁（x）+f₂（x）=sin（x+Φ₁）+sin（x+Φ₂）
=（cosΦ₁+cosΦ₂）sinx+（sinΦ₁+sinΦ₂）cosxΦ
所以函數(shù)的振幅為：

(cosΦ1+cosΦ2)2+(sinΦ1+sinΦ 2)2

=

2+2cos(Φ 1-Φ 2)

則：

2+2cos(Φ 1-Φ 2)

=1
即：cos(Φ 1-Φ2)=-

1

2

所以：Φ 1-Φ 2=2kπ±

2π

3

（k∈Z）

（2）設(shè)f₂（x）=Asin（x+Φ₁），f₃（x）=Asin（x+Φ₂）
則：
f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）
=Asinx+Asin（x+Φ₁）+Asin（x+Φ₂）
=Asinx（1+cosΦ₁+cosΦ₂）+Acosx（sinΦ₁+sinΦ₂）=0恒成立．
則：

1+cosΦ 1+cosΦ 2=0 sinΦ 1+sinΦ 2=0

即：

cosΦ 2=-cosΦ 1-1 sinΦ 1=-sinΦ 2

消去Φ₂
得到：cosΦ 1=-

1

2

若取Φ₁=

2π

3

，則可取Φ₂=

4π

3

此時：f2(x)=Asin(x+

2π

3

)，f3(x)=Asin(x+

4π

3

)
f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）
=A(sinx+(-

1

2

sinx+

3

2

cosx)+(-

1

2

sinx-

3

2

cosx))=0=0
所以為平波．

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，信息題的應(yīng)用，主要考查學(xué)生對實際問題的應(yīng)用能力，屬于中檔題型．