Question

甲、乙、丙三名教師指導(dǎo)五名學(xué)生a、b、c、d、e參加全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，每位老師至少指導(dǎo)一名學(xué)生，教師甲資歷最老，只指導(dǎo)其中的一名學(xué)生．
（I）求教師甲指導(dǎo)學(xué)生a的概率；
（II）求教師乙至少指導(dǎo)兩名學(xué)生的概率；
（III）設(shè)教師丙指導(dǎo)學(xué)生的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）本題是一個古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從5名學(xué)生中選1個，共有C₅¹種結(jié)果，而滿足條件的事件只有一種，根據(jù)古教師丙指導(dǎo)學(xué)生的人數(shù)為ξ典概型概率公式得到結(jié)果．
（II）教師乙至少指導(dǎo)兩名學(xué)生的對立事件是教師乙只指導(dǎo)一名學(xué)生，做出教師乙只指導(dǎo)一名學(xué)生的概率，利用對立事件的概率公式得到結(jié)果．
（III）教師丙指導(dǎo)學(xué)生的人數(shù)為ξ，根據(jù)每位老師至少指導(dǎo)一名學(xué)生，教師甲資歷最老，只指導(dǎo)其中的一名學(xué)生，得到變量的可能取值，寫出分布列，求出期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，本題是一個古典概型，
∵試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從5名學(xué)生中選1個，共有C₅¹種結(jié)果，
而滿足條件的事件只有一種，
設(shè)教師甲指導(dǎo)學(xué)生a為事件A，
∴P（A）=

1

C 1 5

=

1

5

（Ⅱ）設(shè)教師乙只指導(dǎo)一名學(xué)生為事件B，
則教師乙至少指導(dǎo)兩名學(xué)生為事件B的對立事件

B

，
∵P（B）=

A 2 5

C 1 5 ( C 1 4 + 1 2 C 2 4 ) A 2 2

=

2

7

∴P（

B

）=1-P（B）=

5

7

（Ⅲ）教師丙指導(dǎo)學(xué)生的人數(shù)為ξ，由題意知知ξ=1，2，3，
P（ξ=1）=

C 1 5 C 1 2

C 1 5 ( C 1 4 + 1 2 C 2 4 ) A 2 2

=

2

7

；

P（ξ=2）=

C 1 5 C 2 4

C 1 5 ( C 1 2 + 1 2 C 2 4 ) A 2 2

=

3

7

P（ξ=3）=

C 1 5 C 3 4

C 1 6 ( C 1 4 + 1 2 C 2 4 ) A 2 2

=

2

7

∴ξ的分布列為

∴E_ξ=

1×2

7

+

2×3

7

+

3×2

7

=2．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望問題，考查古典概型，考查對立事件的概率，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，是可以得滿分的一道題目．