某學(xué)校高一年級(jí)開(kāi)設(shè)了A,B,C,D,E五門(mén)選修課.為了培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛(ài)好,要求每個(gè)學(xué)生必須參加且只能選修一門(mén)課程.假設(shè)某班甲、乙、丙三名學(xué)生對(duì)這五門(mén)課程的選擇是等可能的.
(Ⅰ)求甲、乙、丙三名學(xué)生參加五門(mén)選修課的所有選法種數(shù);
(Ⅱ)求甲、乙、丙三名學(xué)生中至少有兩名學(xué)生選修同一門(mén)課程的概率;
(Ⅲ)設(shè)隨機(jī)變量X為甲、乙、丙這三名學(xué)生參加A課程的人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
分析:(Ⅰ)每個(gè)學(xué)生選修一門(mén)課程,有5種選法,由分步乘法原理即可求解.
(Ⅱ)“甲、乙、丙三名學(xué)生中至少有兩名學(xué)生選修同一門(mén)課程”的對(duì)立事件為“三名學(xué)生選擇三門(mén)不同選修課程”,利用對(duì)立事件的概率關(guān)系求解.
(Ⅲ)X的所有可能取值為:0,1,2,3,利用古典概型分別求概率,列出分布列求期望即可.
解答:解:(Ⅰ)甲、乙、丙三名學(xué)生每人選擇五門(mén)選修課的方法數(shù)是5種,
故共有5×5×5=125(種).
(Ⅱ)三名學(xué)生選擇三門(mén)不同選修課程的概率為:
=.
∴三名學(xué)生中至少有兩人選修同一門(mén)課程的概率為:
1-=.
(Ⅲ)由題意:X=0,1,2,3
.
P(X=0)==;
P(X=1)==;
P(X=2)==;
P(X=3)==.
ξ的分布列為
數(shù)學(xué)期望
EX=0×+1×+2×+3×=
.
點(diǎn)評(píng):本題考查計(jì)數(shù)原理、古典概型、及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望,難度不大.
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:2010年北京市崇文區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版)
題型:解答題
某學(xué)校高一年級(jí)開(kāi)設(shè)了A,B,C,D,E五門(mén)選修課.為了培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛(ài)好,要求每個(gè)學(xué)生必須參加且只能選修一門(mén)課程.假設(shè)某班甲、乙、丙三名學(xué)生對(duì)這五門(mén)課程的選擇是等可能的.
(Ⅰ)求甲、乙、丙三名學(xué)生參加五門(mén)選修課的所有選法種數(shù);
(Ⅱ)求甲、乙、丙三名學(xué)生中至少有兩名學(xué)生選修同一門(mén)課程的概率;
(Ⅲ)設(shè)隨機(jī)變量X為甲、乙、丙這三名學(xué)生參加A課程的人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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