Question

已知長軸在x軸上的橢圓的離心率e=

6

3

，且過點P（1，1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點A（x₀，y₀）為圓x²+y²=1上任一點，過點A作圓的切線交橢圓于B，C兩點，求證：CO⊥OB（O為坐標(biāo)原點）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓方程，根據(jù)e=

6

3

，可得a²=3b²，利用橢圓過點P（1，1），可得

1

a2

+

1

b2

=1，從而可求橢圓的方程；
（2）由題意可求得切線方程為x₀x+y₀y=1．①若y₀=0，則切線為x=1（或x=-1），求得B、C的坐標(biāo)，從而可得CO⊥OB；②當(dāng)y₀≠0時，切線方程為x₀x+y₀y=1，與橢圓聯(lián)立并化簡，利用韋達(dá)定理，證明x₁x₂+y₁y₂=0即可．

解答：（1）解：由題意，設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵e=

6

3

，∴

a2-b2

a2

=

2

3

，∴a²=3b²
∵橢圓過點P（1，1），∴

1

a2

+

1

b2

=1
∴a²=4，b2=

4

3

∴橢圓的方程為

x2

4

+

3y2

4

=1；
（2）證明：由題意可求得切線方程為x₀x+y₀y=1
①若y₀=0，則切線為x=1（或x=-1），則B（1，1），C（1，-1），∴CO⊥OB（當(dāng)x=-1時同理可得）；
②當(dāng)y₀≠0時，切線方程為x₀x+y₀y=1，與橢圓聯(lián)立并化簡得(3x02+y02)x2-6x0x+3-4y02=0
∴x₁+x₂=

6x0

3x02+y02

，x1x2=

3-4y02

3x02+y02

設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=(1+

x02

y02

)x1x2-

x0

y02

(x1+x2)+

1

y02

=(1+

x02

y02

)×

3-4y02

3x02+y02

-

x0

y02

×

6x0

3x02+y02

+

1

y02

=0
∴CO⊥OB

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓的切線方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．