Question

已知橢圓C的長軸長是焦距的兩倍，其左、右焦點(diǎn)依次為F₁、F₂，拋物線M：y²=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F₁，橢圓C與拋物線M的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l過焦點(diǎn)F₂，與拋物線M交于A、B兩點(diǎn)，若弦長|AB|等于△PF₁F₂的周長，求直線l的方程；
（3）由拋物線弧y²=4mx和橢圓弧
（m＞0）合成的曲線叫“拋橢圓”，是否存在以原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)A₁、A₂落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA₁A₂，若存在，求出兩直角邊所在直線的斜率；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)闄E圓C的長軸長是焦距的兩倍，所以可得到a，b之間的關(guān)系，當(dāng)m=1時(shí)，可知拋物線方程，據(jù)此能夠求出拋物線的準(zhǔn)線方程，因?yàn)閽佄锞�的準(zhǔn)線與x軸交于橢圓的左焦點(diǎn)F₁，所以可求出橢圓中c的值，再根據(jù)a，b，c之間的關(guān)系，就可求出a，b的值，得到橢圓方程．
（2）設(shè)出直線l的點(diǎn)斜式方程，與（1）中所求橢圓方程聯(lián)立，用韋達(dá)定理求出x1+x2，x1x2，再利用弦長公式求出|AB|，讓其等于焦點(diǎn)三角形△PF₁F₂的周長，即可解出斜率k，得到直線l的方程．
（3）先假設(shè)存在以原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)A₁、A₂落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA₁A₂，由A₁、A₂所在曲線上的位置，分3種情況，①當(dāng)A₁、A₂同時(shí)在拋物線弧上時(shí)，②當(dāng)A₁、A₂同時(shí)在橢圓弧上時(shí)，③當(dāng)A₁在拋物線弧上，A₂在橢圓弧上時(shí)，分別計(jì)算k值，看所求k值是否在，若k值存在，則假設(shè)正確，否則，假設(shè)不正確．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的實(shí)半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，
當(dāng)m=1時(shí)，由題意得，a=2c=2，b²=a²-c²=3，a²=4，
所以橢圓的方程為．
（2）依題意知直線l的斜率存在，設(shè)l：y=k（x-1），由得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
由直線l與拋物線M有兩個(gè)交點(diǎn)，可知k≠0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達(dá)定理得，則
又△PF₁F₂的周長為2a+2c=6，所以，
解得，從而可得直線l的方程為
（3）由題意得，“拋橢圓”由拋物線弧和橢圓弧合成，且、．
假設(shè)存在△OA₁A₂為等腰直角三角形，由A₁、A₂所在曲線的位置做如下3種情況討論：
①當(dāng)A₁、A₂同時(shí)在拋物線弧上時(shí)，由OP₁、OP₂的斜率分別為，∠A₁OA₂比為鈍角，顯然與題設(shè)矛盾．此時(shí)不存在                
②當(dāng)A₁、A₂同時(shí)在橢圓弧上時(shí)，由橢圓與等腰直角三角形的對(duì)稱性知，
兩直角邊關(guān)于x軸對(duì)稱．
即直線OA₁的斜率為1，直線OA₂的斜率為-1，
得符合題意；此時(shí)存在
③不妨設(shè)當(dāng)A₁在拋物線弧上，A₂在橢圓弧上時(shí)，
于是設(shè)直線OA₁的方程為y=kx（其中），將其代入y²=4mx得；
由OA₁⊥OA₂，直線OA₂的方程為，
同理代入橢圓弧方程得，
由|OA₁|=|OA₂|得3k⁴-12k²-16=0，解得與矛盾，此時(shí)不存在．
因此，存在以原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)A₁、A₂落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA₁A₂，兩直角邊所在直線的斜率分別為1和-1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓方程的求法，以及直線與橢圓位置關(guān)系的判斷．