(2011•嘉定區(qū)一模)定義x1,x2,…,xn的“倒平均數(shù)”為
n
x1+x2+…+xn
(n∈N*).
(1)若數(shù)列{an}前n項(xiàng)的“倒平均數(shù)”為
1
2n+4
,求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿(mǎn)足:當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),bn=1,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),bn=2.若Tn為{bn}前n項(xiàng)的倒平均數(shù),求
lim
n→∞
Tn

(3)設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+4x,對(duì)(1)中的數(shù)列{an},是否存在實(shí)數(shù)λ,使得當(dāng)x≤λ時(shí),f(x)≤
an
n+1
對(duì)任意n∈N*恒成立?若存在,求出最大的實(shí)數(shù)λ;若不存在,說(shuō)明理由.
分析:(1)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,由題意,Tn=
n
Sn
=
1
2n+4
,所以Sn=2n2+4n.由此能求出{an}的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,則分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)時(shí),分別求出Sn,從而求出Tn.由此能求出
lim
n→∞
Tn

(3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,使得當(dāng)x≤λ時(shí),f(x)
an
n+1
對(duì)任意n∈N*恒成立,則-x2+4x≤
4n+2
n+1
對(duì)任意n∈N*恒成立,令cn=
4n+2
n+1
,則數(shù)列{cn}是遞增數(shù)列,由此能推導(dǎo)出存在最大的實(shí)數(shù)λ=1,使得當(dāng)x≤λ時(shí),f(x)
an
n+1
對(duì)任意n∈N*恒成立.
解答:解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,
由題意,Tn=
n
Sn
=
1
2n+4
,
所以Sn=2n2+4n.  …(1分)
所以a1=S1=6,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=4n+2,
而a1也滿(mǎn)足此式.…(2分)
所以{an}的通項(xiàng)公式為an=4n+2.…(1分)
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Sn=
3n
2
,…(1分)
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn=
3(n-1)
2
+1=
3n-1
2
.  …(1分)
所以Tn=
2
3
,n為奇數(shù)
2n
3n-1
,n為偶數(shù)
.   …(3分)
所以
lim
n→∞
Tn=
2
3
. …(2分)
(3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,使得當(dāng)x≤λ時(shí),f(x)
an
n+1
對(duì)任意n∈N*恒成立,
則-x2+4x≤
4n+2
n+1
對(duì)任意n∈N*恒成立,…(1分)
cn=
4n+2
n+1
,因?yàn)?span id="1116616" class="MathJye">cn+1-cn=
2
(n+1)(n+2)
>0,
所以數(shù)列{cn}是遞增數(shù)列,…(1分)
所以只要-x2+4x≤c1,即x2-4x+3≥0,
解得x≤1或x≥3.…(2分)
所以存在最大的實(shí)數(shù)λ=1,
使得當(dāng)x≤λ時(shí),f(x)
an
n+1
對(duì)任意n∈N*恒成立.(2分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、極限的求法,探索實(shí)數(shù)是否存在.綜合性強(qiáng),難度大,有一定的探索性,對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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OP
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OA
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OB
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1
2
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