Question

（2012•楊浦區(qū)二模）已知數(shù)列A_n：a₁，a₂，…，a_n．如果數(shù)列B_n：b₁，b₂，…，b_n滿足b₁=a_n，b_k=a_k-1+a_k-b_k-1，其中k=2，3，…，n，則稱B_n為A_n的“生成數(shù)列”．
（1）若數(shù)列A₄：a₁，a₂，a₃，a₄的“生成數(shù)列”是B₄：5，-2，7，2，求A₄；
（2）若n為偶數(shù)，且A_n的“生成數(shù)列”是B_n，證明：B_n的“生成數(shù)列”是A_n；
（3）若n為奇數(shù)，且A_n的“生成數(shù)列”是B_n，B_n的“生成數(shù)列”是C_n，…．依次將數(shù)列A_n，B_n，C_n，…的第i（i=1，2，…，n）項(xiàng)取出，構(gòu)成數(shù)列Ω_i：a_i，b_i，c_i，…證明：數(shù)列Ω_i是等差數(shù)列，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：本題是新定義問(wèn)題．
對(duì)于（1），根據(jù)題目給出的新定義，列有關(guān)a₁，a₂，a₃，a₄，的方程組求解；
對(duì)于（2），可采用兩種證明方法，方法①可根據(jù)題目給出的條件，b₁=a_n，b_k=a_k-1+a_k-b_k-1，分析歸納得到想bi=ai+(-1)i(a1-an)，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明該式成立，由此衍生新生成數(shù)列C_n，進(jìn)一步說(shuō)明C_n就是A_n，也可依據(jù)已知寫出b₁=a_n，b₁+b₂=a₁+a₂，b₂+b₃=a₂+a₃…，消去偶數(shù)式求證；
對(duì)于（3），欲證數(shù)列Ω_i是等差數(shù)列，可設(shè)數(shù)列X_n，Y_n，Z_n中后者是前者的“生成數(shù)列”．欲證Ω_n成等差數(shù)列，只需證明x_n，y_n，z_n成等差數(shù)列，即只要證明2y_i=x_i+z_i（i=1，2，…，n）即可．

解答：解：（1）由題意得，b₁=a₄=5，b₂=-2=a₂+a₁-5，b₃=7=a₃-a₁+5，b₄=2=a₄+a₁-5，
所以A₄：2，1，4，5
（2）證法一：
證明：由已知，b₁=a₁-（a₁-a_n），b₂=a₁+a₂-b₁=a₂+（a₁-a₂）
因此，猜想bi=ai+(-1)i(a1-an)
①當(dāng)i=1時(shí)，b₁=a₁-（a₁-a_n），猜想成立；
②假設(shè)i=k（k∈N^*時(shí)，bk=ak+(-1)k(a1-an)．
當(dāng)i=k+1時(shí)，bk=ak+ak+1-[ak+(-1)k(a1-an)]
=ak+ak+1-ak-(-1)k(a1-an)
=ak+1+(-1)k(a1-an)
故當(dāng)i=k+1時(shí)猜想也成立．
由 ①、②可知，對(duì)于任意正整數(shù)i，有bi=ai+(-1)i(a1-an)．
設(shè)數(shù)列B_n的“生成數(shù)列”為C_n，則由以上結(jié)論可知
ci=bi+(-1)i(b1-bn)=ai+(-1)i(a1-an)+(-1)i(b1-bn)，其中i=1，2，3…n．
由于n為偶數(shù)，所以bn=an+(-1)n(a1-an)=a1，
所以ci=ai+(-1)i(a1-an)+(-1)i(an-a1)=ai，其中i=1，2，3，…，n．
因此，數(shù)列C_n即是數(shù)列A_n．
證法二：
因?yàn)閎₁=a_n，b₁+b₂=a₁+a₂，b₂+b₃=a₂+a₃，
…b_n-1+b_n=a_n-1+a_n，…
由于n為偶數(shù)，將上述n個(gè)等式中的第2，4，6，…，n這

n

2

個(gè)式子都乘以-1，相加得
b₁-（b₁+b₂）+（b₂+b₃）-…-（b_n-1+b_n）=a_n-（a₁+a₂）+（a₂+a₃）-…-（a_n-1+a_n）
即-b_n=-a₁，∴b_n=a₁．
由于a₁=b_n，a_i=b_i-1+b_i-a_i-1（i=1，2…，n）
根據(jù)“生成數(shù)列”的定義知，數(shù)列A_n是B_n的“生成數(shù)列”．
（3）證明：設(shè)數(shù)列X_n，Y_n，Z_n中后者是前者的“生成數(shù)列”．欲證Ω_n成等差數(shù)列，只需證明x_n，y_n，z_n成等差數(shù)列，即只要證明2y_i=x_i+z_i（i=1，2，…，n）即可
由（2）中結(jié)論可知yi=xi+(-1)i(x1-xn)，
zi=yi+(-1)i(y1-yn)
=xi+(-1)i(x1-xn)+(-1)i(y1-yn)
=xi+(-1)i(x1-xn)+(-1)i[xn-xn-(-1)n(x1-xn)]
=xi+(-1)i(x1-xn)+(-1)i(x1-xn)
=xi+2(-1)i(x1-xn)，
所以，xi+zi=2xi+2(-1)i(x1-xn)=2yi，即x_i，y_i，z_i成等差數(shù)列，
所以Ω_n是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免錯(cuò)誤．