Question

給定圓P：x²+y²=2x及拋物線S：y²=4x，過圓心P作直線l，此直線與上述兩曲線的四個交點，自上而下順次記為A，B，C，D，如果線段AB，BC，CD的長按此順序構成一個等差數(shù)列，則直線l的斜率為（　�。�

• A、±

  3

  3

• B、±

  2

  2

• C、±

  2

• D、±

  3

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先確定圓P的標準方程，求出圓心與直徑長，設出l的方程，代入拋物線方程，求出|AD|，利用線段AB、BC、CD的長按此順序構成一個等差數(shù)列，可得|AD|=3|BC|，求出k的值，可得直線l的斜率

-1

k

的值．

解答：解：圓P的方程為（x-1）²+y²=1，則其直徑長|BC|=2，圓心為P（1，0），
設l的方程為ky=x-1，即x=ky+1，代入拋物線方程得：y²=4ky+4，
設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
有

y1+y2=4k y1•y2=-4

，(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y₁•y₂=16（k²+1），
∴|AD|²=(y1-y2)2+(x1-x2)2=(y1-y2)2+(

y12-y22

4

)2
=(y1-y2)2+[1+(

y1+y2

4

)2]=16（k²+1），
∴|AD|=4（k²+1）．
∴線段AB、BC、CD的長按此順序構成一個等差數(shù)列，
∴|AD|=3|BC|，即4（k²+1）=6，解得k=±

2

2

，
∴直線l的斜率為

1

k

=±

2

，
故選：C．

點評：本題考查直線與圓、拋物線的位置關系，考查等差數(shù)列，考查學生的計算能力，確定|AD|是關鍵，屬于中檔題．