如圖,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F、F,A是橢圓C上的一點,AF⊥FF,O是坐標原點,OB垂直AF于B,且OF=3OB.
(Ⅰ)求橢圓C的離心率;
(Ⅱ)求t∈(0,b),使得命題“設(shè)圓x+y=t上任意點M(x,y)處的切線交橢圓C于Q、Q兩點,那么OQ⊥OQ”成立.
(1)橢圓C的離心率為. (2)t=b∈(0,b)使得所述命題成
解析試題分析:解:(Ⅰ)解法一:由題設(shè)AF⊥FF及F(-c,0),F(xiàn)(c,0),不妨設(shè)點A(c,y),其中y>0,由于點A在橢圓上,有+=1,
+=1,解得y=,從而得到A. 1分
直線AF的方程為y=(x+c),整理得bx-2acy+bc=0. 2分
由題設(shè),原點O到直線AF的距離為|OF|,即=, 3分
將c=a-b代入原式并化簡得a=2b,即a=b.
∴e==.即橢圓C的離心率為. 4分
解法二:點A的坐標為. 1分
過點O作OB⊥AF,垂足為B,易知△FBC∽△FFA,
故=. 2分
由橢圓定義得|AF|+|AF|=2a,又|BO|=|OF|,
所以=. 3分
解得|FA|=,而|FA|=,得=.
∴e==.即橢圓C的離心率為. 4分
(Ⅱ)圓x+y=t上的任意點M(x,y)處的切線方程為xx+yy=t. 5分
當t∈(0,b)時,圓x+y=t
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已知,,圓,一動圓在軸右側(cè)與軸相切,同時與圓相外切,此動圓的圓心軌跡為曲線C,曲線E是以,為焦點的橢圓。
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)曲線C與曲線E相交于第一象限點P,且,求曲線E的標準方程;
(3)在(1)、(2)的條件下,直線與橢圓E相交于A,B兩點,若AB的中點M在曲線C上,求直線的斜率的取值范圍。
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在平面直角坐標系中,動點到兩點,的距離之和等于,設(shè)點的軌跡為曲線,直線過點且與曲線交于,兩點.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)是否存在△面積的最大值,若存在,求出△的面積;若不存在,說明理由.
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已知兩定點E(-2,0),F(2,0),動點P滿足,由點P向x軸作垂線段PQ,垂足為Q,點M滿足,點M的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程
(2)過點D(0,-2)作直線與曲線C交于A、B兩點,點N滿足
(O為原點),求四邊形OANB面積的最大值,并求此時的直線的方程.
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已知橢圓的長軸長為,焦點是,點到直線的距離為,過點且傾斜角為銳角的直線與橢圓交于A、B兩點,使得|=3|.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)求直線l的方程.
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已知橢圓過點,且它的離心率.直線
與橢圓交于、兩點.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)當時,求證:、兩點的橫坐標的平方和為定值;
(Ⅲ)若直線與圓相切,橢圓上一點滿足,求實數(shù)的取值范圍.
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如圖,橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合,過作與軸垂直的直線與橢圓交于,而與拋物線交于兩點,且.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若過的直線與橢圓相交于兩點和,
設(shè)為橢圓上一點,且滿足(為坐標原點),求實數(shù)的取值范圍.
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已知坐標平面上點與兩個定點的距離之比等于5.
(1)求點的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形;
(2)記(1)中的軌跡為,過點的直線被所截得的線段的長為8,求直線的方程
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在直角坐標系xOy中,橢圓C1: ="1" (a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2, F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點,點M為C1與C2在第一象限的交點,且|MF2|=.
(1)求C1的方程;
(2)直線l∥OM,與C1交于A、B兩點,若·=0,求直線l的方程.
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