Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D為AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB₁∥面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-BD-C的余弦值；
（Ⅲ）在側(cè)棱AA₁上是否存在點(diǎn)P，使得CP⊥面BDC₁？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（I）連接B₁C，與BC₁相交于O，連接OD，我們由三角形的中位線定理，易得OD∥AB₁，進(jìn)而由線面平行的判定定理得到AB₁∥面BDC₁；
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面C₁BD和平面BDC的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角C₁-BD-C的余弦值；
（Ⅲ）假設(shè)側(cè)棱AA₁上存在點(diǎn)P，使得CP⊥面BDC₁，我們可以設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而構(gòu)造方程組，若方程組有解說明存在，若方程組無解，說明滿足條件的P點(diǎn)不存在．

解答：證明：（I）連接B₁C，與BC₁相交于O，連接OD
∵BCC₁B₁是矩形，
∴O是B₁C的中點(diǎn)．
又D是AC的中點(diǎn)，
∴OD∥AB₁．（2分）
∵AB1?面BDC₁，OD?面BDC₁，
∴AB₁∥面BDC₁．（4分）
解：（II）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則
C₁（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），
D（1，3，0）（5分）
設(shè)

n

=（x，y，z）是面BDC₁的一個(gè)法向量，則

n • C1B =0 n • C1D =0

即

3y+2z=0 x+3y=0

，令x=1
則

n

=（1，-

1

3

，

1

2

）．（6分）
易知

C1C

=（0，3，0）是面ABC的一個(gè)法向量．
∴cos＜

n

，

C1C

＞=

2

7

．（8分）
∴二面角C₁-BD-C的余弦值為

2

7

．（9分）
（III）假設(shè)側(cè)棱AA₁上存在一點(diǎn)P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC₁．
則

CP • C1B =0 CP • C1D =0

，即

3(y-3)=0 2+3(y-3)=0

∴方程組無解．∴假設(shè)不成立．
∴側(cè)棱AA₁上不存在點(diǎn)P，使CP⊥面BDC₁．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中（I）的關(guān)鍵是證得OD∥AB₁，（II）（III）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題和線面垂直問題轉(zhuǎn)化為空間向量夾角問題．