【題目】某高校在上學(xué)期依次舉行了“法律、環(huán)保、交通”三次知識競賽活動(dòng),要求每位同學(xué)至少參加一次活動(dòng).該高校2014級某班50名學(xué)生在上學(xué)期參加該項(xiàng)活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示.

(1)從該班中任意選兩名學(xué)生,求他們參加活動(dòng)次數(shù)不相等的概率.
(2)從該班中任意選兩名學(xué)生,用ξ表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對值,求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.
(3)從該班中任意選兩名學(xué)生,用η表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之和,記“函數(shù)f(x)=x2﹣ηx﹣1在區(qū)間(3,5)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件A,求事件A發(fā)生的概率.

【答案】
(1)解:從該班任取兩名學(xué)生,他們參加活動(dòng)的次數(shù)恰好相等的概率:

P= = ,故P=1﹣ =


(2)解:從該班中任選兩名學(xué)生,用ξ表示這兩學(xué)生參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對值,則ξ的可能取值分別為:0,1,2,

于是P(ξ=0)= ,P(ξ=1)= = ,

P(ξ=2)= = ,從而ξ的分布列為:

ξ

0

1

2

P

Eξ=0× +1× +2× =


(3)解:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2﹣ηx﹣1 在區(qū)間(3,5)上有且只有一個(gè)零點(diǎn),則

f(3)f(5)<0,即:(8﹣3η)(24﹣5η)<0,

<η< ,

又由于η的取值分別為:2,3,4,5,6,故η=3或4,

故所求的概率為:P(A)= =


【解析】( 1)由圖可知,參加活動(dòng)1次、2次和3次的學(xué)生人數(shù)分別為5、25和20.由此能求出從該班中任選兩名學(xué)生,他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率,繼而求出不等的概率;.(2)從該班中任選兩名學(xué)生,用ξ表示這兩學(xué)生參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對值,則ξ的可能取值分別為:0,1,2由此能求出ξ的分布列和ξ的數(shù)學(xué)期望;(3)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定理,可得f(3)f(5)<0,求出η的值,再根據(jù)古典概率求出事件A發(fā)生的概率.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中,對于隨機(jī)變量X可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量的分布列:一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布,簡稱分布列才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,空間四邊形ABCD中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),且AB=AD,BC=DC.

(1)求證:∥平面EFGH;

(2)求證:四邊形EFGH是矩形.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),α為直線的傾斜角).
(I)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線l與曲線C有唯一的公共點(diǎn),求角α的大小.

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【題目】A、B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤率分別為隨機(jī)變量X1X2,根據(jù)市場分析,X1X2的分布列分別為

X1

5%

10%

P

0.8

0.2

X2

2%

8%

12%

P

0.2

0.5

0.3

(1)A,B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬元,Y1Y2分別表示投資項(xiàng)目AB所獲得的利潤,求方差V(Y1)V(Y2);

(2)x(0≤x≤100)萬元投資A項(xiàng)目,100x萬元投資B項(xiàng)目,f(x)表示投資A項(xiàng)目所得利潤的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x為何值時(shí),f(x)取到最小值.

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【題目】某產(chǎn)品有4件正品和2件次品混在了一起,現(xiàn)要把這2件次品找出來,為此每次隨機(jī)抽取1件進(jìn)行測試,測試后不放回,直至次品全部被找出為止.

(1)1次和第2次都抽到次品的概率;

(2)設(shè)所要測試的次數(shù)為隨機(jī)變量X,X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知某公司生產(chǎn)一種品牌服裝的年固定成本為10萬元,且每生產(chǎn)1萬件,需要另投入1.9萬元.設(shè)R(x)(單位:萬元)為銷售收入,根據(jù)市場調(diào)查知R(x)= 其中x(單位:萬件)是年產(chǎn)量.

(1)寫出年利潤W(單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)解析式.

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí),該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大?

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【題目】已知F(x)=,x(-1,+∞).

(1)F(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求函數(shù)F(x)[1,5]上的最值.

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【題目】設(shè)、為曲線上兩點(diǎn),的橫坐標(biāo)之和為

(1)求直線的斜率;

(2)為曲線上一點(diǎn),處的切線與直線平行,且,求直線的方程.

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【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500,測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).

(2)由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù),σ2近似為樣本方差s2.

利用該正態(tài)分布,P(187.8<Z<212.2);

某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)上的產(chǎn)品件數(shù),利用的結(jié)果,E(X).

:≈12.2.

Z~N(μ,σ2),P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 4.

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