設(shè)橢圓 :()的一個(gè)頂點(diǎn)為,,分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),離心率 ,過橢圓右焦點(diǎn) 的直線 與橢圓 交于 , 兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線 ,使得 ,若存在,求出直線 的方程;若不存在,說明理由;
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解,以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。(1)中橢圓的頂點(diǎn)為,即又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714546570844292_ST.files/image015.png">,得到,然后求解得到橢圓方程(2)中,對(duì)直線分為兩種情況討論,當(dāng)直線斜率存在時(shí),當(dāng)直線斜率不存在時(shí),聯(lián)立方程組,結(jié)合得到結(jié)論。
解:(1)橢圓的頂點(diǎn)為,即
,解得, 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 --------4分
(2)由題可知,直線與橢圓必相交.
①當(dāng)直線斜率不存在時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)不合題意. --------5分
②當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)存在直線為,且,.
由得, ----------7分
,,
=
所以, ----------10分
故直線的方程為或
即或
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