【題目】三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示,截面為A1B1C1 , ∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A= ,AB= ,AC=2,A1C1=1, = . (Ⅰ)證明:BC⊥平面A1AD
(Ⅱ)求二面角A﹣CC1﹣B的余弦值.
【答案】證明:(Ⅰ)以AB、AC、AA1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系, 則A(0,0,0),B( ,0,0),C(0,2,0),A1(0,0, ), ,
∵BD:DC=1:2, = .
∴D( , ,0), =( , ,0), =(﹣ ), =(0,0, ).
∵ =0, =0,∴BC⊥AA1 , BC⊥AD,又A1A∩AD=A,
BC⊥平面A1AD
解:(Ⅱ)∵BA平面ACC1A1 , 取m= =( ,0,0)為平面ACC1A1的法向量,
設平面BCC1B1的法向量為 =(l,m,n),則 =0, =0.
∴ ,l= ,n= ,取m=1,得 =( ,1, ),
∴cos< >= = .
∴二面角A﹣CC1﹣B的余弦值為 .
【解析】(Ⅰ)以AB、AC、AA1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,利用向量法能證明BC⊥平面A1AD.(Ⅱ)BA⊥平面ACC1A1 , 取 = =( ,0,0)為平面ACC1A1的法向量,
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關知識點,需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想才能正確解答此題.
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【題目】已知不等式|x+3|<2x+1的解集為{x|x>m}. (Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)設關于x的方程|x﹣t|+|x+ |=m(t≠0)有解,求實數(shù)t的值.
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【題目】為了解春季晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關系,現(xiàn)在從4月份的30天中隨機挑選了5天進行研究,且分別記錄了每天晝夜溫差與每天100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),得到如下資料:
日期 | 4月1日 | 4月7日 | 4月15日 | 4月21日 | 4月30日 |
溫差x/℃ | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù)y/顆 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
(Ⅰ)從這5天中任選2天,記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m,n,求事件“m,n均不小于25”的概率.
(Ⅱ)從這5天中任選2天,若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)這5天中的另3天的數(shù)據(jù),求出y關于x的線性回歸方程 = x+ .
(參考公式: = , = ﹣ )
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【題目】一臺機器按不同的轉速生產(chǎn)出來的某機械零件有一些會有缺點,每小時生產(chǎn)有缺點零件的多少,隨機器的運轉的速度而變化,具有線性相關關系,下表為抽樣試驗的結果:
轉速(轉/秒) | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
每小時生產(chǎn)有缺點的零件數(shù)(件) | 5 | 7 | 8 | 9 | 11 |
(1)如果對有線性相關關系,求回歸方程;
(2)若實際生產(chǎn)中,允許每小時生產(chǎn)的產(chǎn)品中有缺點的零件最多有1個,那么機器的運轉速度應控制在什么范圍內?參考公式:, .
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【題目】設函數(shù)f(x)=
(1)令N(x)=(1+x)2﹣1+ln(1+x),判斷并證明N(x)在(﹣1,+∞)上的單調性,并求N(0);
(2)求f(x)在定義域上的最小值;
(3)是否存在實數(shù)m,n滿足0≤m<n,使得f(x)在區(qū)間[m,n]上的值域也為[m,n]? (參考公式:[ln(1+x)′]= )
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓C:,直線:.
(1)若直線被圓C截得的弦長為 ,求實數(shù)的值;
(2)當t =1時,由直線上的動點P引圓C的兩條切線,若切點分別為A,B,則直線AB是否恒過一個定點?若存在,求出該定點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知從圓C:(x+1)2+(y﹣2)2=2外一點P(x1 , y1)向該圓引一條切線,切點為M,O為坐標原點,且有|PM|=|PO|,則當|PM|取最小值時點P的坐標為 .
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