Question

已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）的圖象如圖所示（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）．
（1）若f（

π

2

）=-

2

3

，求f（0）的值．
（2）求滿足f（x）＞-

A

2

的x的取值范圍．
（3）若A=1，令g（x）=f（

1

3

x+

π

12

），求方程lg|x|=2g（x）的解的個數(shù)．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，再由f（

π

2

）=-

2

3

求出A，可得f（0）的值．
（2）由不等式f（x）＞-

A

2

，可得cos（3x-

π

4

）＞-

1

2

，可得-

2π

3

+2kπ＜3x-

π

4

＜

2π

3

+2kπ，k∈z．由此求得
x的取值范圍．
（3）由題意可得g（x）=f（

1

3

x+

π

12

）=cosx，數(shù)形結(jié)合求出函數(shù)y=lg|x|的圖象和函數(shù)y=2cosx的圖象在（0，+∞）上的交點個數(shù)，再乘以2，即得所求．

解答： 解：（1）首先由圖象可知所求函數(shù)的周期為

2

3

π，故ω=3，將（

11π

12

，0）代入解析式，
相當于余弦函數(shù)“五點法”作圖中的第二關(guān)鍵點，可得

11

4

π+φ=

π

2

+2kπ（k∈Z），
所以φ=-

π

4

+2kπ（k∈Z），令φ=-

π

4

，代入解析式得f（x）=Acos（3x-

π

4

）．
又因為f（

π

2

）=-

2

3

=-Acos

π

4

=-

2

3

，∴A=

2 2

3

，
所以f（0）=Acos（-

π

4

）=Acos

π

4

=

2

3

．
（2）f（x）＞-

A

2

，即 Acos（3x-

π

4

）＞-

A

2

，∴cos（3x-

π

4

）＞-

1

2

，
∴-

2π

3

+2kπ＜3x-

π

4

＜

2π

3

+2kπ，k∈z．
解得

2kπ

3

-

5π

36

＜x＜

2kπ

3

+

11π

36

，k∈z，
故滿足f（x）＞-

A

2

的x的取值范圍為（

2kπ

3

-

5π

36

，

2kπ

3

+

11π

36

），k∈z．
（3）∵A=1，∴f（x）=cos（3x-

π

4

），則g（x）=f（

1

3

x+

π

12

）=cos[3（

x

3

+

π

12

）-

π

4

]=cosx，
求方程lg|x|=2g（x）的解的個數(shù)，即函數(shù)y=lg|x|的圖象和函數(shù)y=2cosx的圖象的交點個數(shù)，
由于這2個函數(shù)都是偶函數(shù)，它們的圖象都關(guān)于軸對稱，
故只需考慮函數(shù)y=lg|x|的圖象和函數(shù)y=2cosx的圖象在（0，+∞）上的交點個數(shù)即可．
如圖所示：
在一個周期[0，2π）上，交點個數(shù)為2，在[0，30π]上，2個函數(shù)圖象交點個數(shù)為15×2=30，
且lg100=2，故函數(shù)y=lg|x|的圖象和函數(shù)y=2cosx的圖象在（0，+∞）上的交點個數(shù)為30，
故函數(shù)y=lg|x|的圖象和函數(shù)y=2cosx的圖象在（-∞，+∞）上的交點個數(shù)為60．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，三角不等式的解法，函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．