【題目】已知函數(shù),且.

1)求;

2)證明:存在唯一極大值點,且.

【答案】1;(2)證明見解析.

【解析】

1)根據(jù)函數(shù)解析式變形為,可知.構(gòu)造函數(shù),并求得其導(dǎo)函數(shù),通過討論的不同取值范圍,分析函數(shù)的單調(diào)性及最值,即可求得.

2)求得導(dǎo)函數(shù).并構(gòu)造函數(shù),求得.根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷出的單調(diào)區(qū)間,并求得,從而可知唯一的零點.,并判斷的單調(diào)情況,即可得知存在唯一極大值點.因為,代入方程表示為,再代入即可結(jié)合證明不等式成立.

1)因為,,所以,

構(gòu)造函數(shù),,,

,,上單調(diào)遞增,則當,矛盾,舍去;

,,則當,,上單調(diào)遞增,矛盾,舍去;

,,則當,,

上單調(diào)遞減,矛盾,舍去;

,則當,,,,

上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,

,,滿足題意;

綜上所述,.

2)證明:由(1)可知,,

構(gòu)造函數(shù),,

上單調(diào)遞增,,

故當,,,,

上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,

,,,

結(jié)合零點存在性定理知,在區(qū)間存在唯一實數(shù),使得,

,,,,,,

單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,

存在唯一極大值點,因為,所以,

,

因為,所以.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系xoy中,以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系。已知曲線C的極坐標方程為,過點的直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l與曲線C交于MN兩點。

(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程:

(2)若成等比數(shù)列,求a的值。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】近年來,昆明加大了特色農(nóng)業(yè)建設(shè),其中花卉產(chǎn)業(yè)是重要組成部分.昆明斗南毗鄰滇池東岸,是著名的花都,有全國10支鮮花7支產(chǎn)自斗南之說,享有金斗南的美譽.為進一步了解鮮花品種的銷售情況,現(xiàn)隨機抽取甲、乙兩戶斗南花農(nóng),對其連續(xù)5日的玫瑰花日銷售情況進行跟蹤調(diào)查,將日銷售量作為樣本繪制成莖葉圖如下,單位:扎(20支/扎).

1)求甲、乙兩戶花農(nóng)連續(xù)5日的日均銷售量,并比較兩戶花農(nóng)連續(xù)5日銷售量的穩(wěn)定性;

2)從兩戶花農(nóng)連續(xù)5日的銷售量中各隨機抽取一個,求甲的銷售量比乙的銷售量高的概率·

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,長軸長為4,且過點.

1)求橢圓C的方程;

2)過的直線l交橢圓C兩點,過Ax軸的垂線交橢圓C與另一點QQ不與重合).設(shè)的外心為G,求證為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)處的切線方程為.

1)求的值;

2)當時,恒成立,求整數(shù)的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,已知底面,,,,,中點.

1)求證:平面平面;

2)若四棱錐的體積為1,求點到平面的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知,,直線,,與曲線所圍成的曲邊梯形的面積為.其中,且.

1)當時,恒成立,求實數(shù)的值;

2)請指出,,的大小,并且證明;

3)求證:.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】足球是世界普及率最高的運動,我國大力發(fā)展校園足球.為了解本地區(qū)足球特色學(xué)校的發(fā)展狀況,社會調(diào)查小組得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù):

年份x

2014

2015

2016

2017

2018

足球特色學(xué)校y(百個)

0.30

0.60

1.00

1.40

1.70

1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),計算yx的相關(guān)系數(shù)r,并說明yx的線性相關(guān)性強弱.

(已知:,則認為yx線性相關(guān)性很強;,則認為yx線性相關(guān)性一般;,則認為yx線性相關(guān)性較):

2)求y關(guān)于x的線性回歸方程,并預(yù)測A地區(qū)2020年足球特色學(xué)校的個數(shù)(精確到個).

參考公式和數(shù)據(jù):,

,

.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),在以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線的方程為.

1)求曲線的直角坐標方程;

2)設(shè)曲線與直線交于點,點的坐標為(3,1),求.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案