Question

如圖所示，已知圓的方程是(x－1)²＋y²＝1，四邊形PABQ為該圓內(nèi)接梯形，底邊AB為圓的直徑且在x軸上，以A，B為焦點(diǎn)的橢圓C過P，Q兩點(diǎn)．

(1)若直線QP與橢圓C的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)當(dāng)梯形PABQ周長(zhǎng)最大時(shí)，求橢圓C的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)解法一：設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)． 　　因?yàn)?c＝2，所以c＝1，所以右準(zhǔn)線方程為x＝a2＋1，設(shè)M(x，y)，P(x0，y0)，連接PB，則|PA|2＋|PB|2＝|AB|2，所以(|PA|＋|PB|)2－2|PA|·|PB|＝4．所以(2a)2－2·2|y0|＝4． 　　y0＝±(a2－1)．由消去a，得y＝±(x－2)．因?yàn)?＜|y0|＜1，所以0＜a2－1＜1，1＜a2＜2．所以2＜x＜3．即M點(diǎn)的軌跡方程是y＝±(x－2)(2＜x＜3)． 　　解法二：如解法一， 　　由解得＝b2(a2－1)．因?yàn)閎2＝a2－c2＝a2－1，所以＝(a2－1)．即y0＝±(a2－1)．以下同解法一． 　　(2)解法一：設(shè)∠ABO＝α，α∈(，)，則|AB|＝2，|PA|＝|BQ|＝2cosα， 　　|PQ|＝|AB|－2|BQ|cosα＝2－4cos2α．所以周長(zhǎng)L＝(2－4cos2α)＋4cosα＋2． 　　＝－4(cosα－)2＋5．當(dāng)cosα＝，即α＝時(shí)，周長(zhǎng)L取最大值5．此時(shí)|BQ|＝1，|AQ|＝，2a＝|BQ|＋|AQ|，a2＝()2＝，b2＝a2－1＝，所以所求橢圓C的方程為＋＝1． 　　解法二：設(shè)P(x0，y0)，|PA|＝t，因?yàn)閨PA|2＝(||AB|－x0|)|AB|，所以t2＝2(2－x0)．x0＝2－．因?yàn)?＜x0＜2，所以0＜t＜．梯形周長(zhǎng)L＝|PQ|＋2|PA|＋|AB| 　�。�2(x0－1)＋2t＋2 　�。�2(1－)＋2t＋2 　�。剑璽2＋2t＋4 　�。剑�(t－1)2＋5． 　　當(dāng)t＝1時(shí)，L取最大值5，此時(shí)|PB|＝，以下同解法一．