Question

如圖1，矩形ABCD中，AB=，BC=2，Q為AD的中點(diǎn)，將△ABQ、△CDQ沿BQ、CQ折起，使得AQ、DQ重合，記A、D重合的點(diǎn)為P，如圖2。

（1）求二面角B-PQ-C的大小；
（2）證明：PQ⊥BC；
（3）求直線PQ與平面BCQ所成的角的大小。

Answer 1

（1）解：在矩形ABCD中，AB⊥AQ，DC⊥DQ， 所以，在折起后，有PB⊥PQ，APC⊥PQ， 所以∠BPC就是所求的二面角的平面角， 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110411/201104111038264211062.gif" border=0>，BC=2， 所以， 即△PBC是直角三角形，所以 ∠BPC=90°。 （2）證明：由已知可得△BCQ、△BCP都是等腰三角形， 取BC的中點(diǎn)M，連結(jié)PM、QM， 則有PM⊥BC，QM⊥BC， 因?yàn)镻M∩QM=M，平面PQM，平面PQM， 所以BC⊥平面PQM， 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110411/20110411103826437914.gif" border=0>平面PQM， 所以PQ⊥BC。 （3）由（2）知BC⊥平面PQM，而平面BCQ， 所以平面PQM⊥平面BCQ， 又平面PQM∩平面BCQ=QM， 所以，作PN⊥QM，有PN⊥平面BCQ， 所以，QN是PQ在平面BCQ內(nèi)的射影， 所以，∠PQN就是所求的角， 在等腰△BCQ中，，MC=1，所以得； 在等腰△BCP中，易得PM=1， 所以△PQM是等腰直角三角形，于是∠PQN=∠PQM=45°。