設(shè)矩陣M是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，橫坐標(biāo)保持不變的伸縮變換．

（Ⅰ）求矩陣M；

（Ⅱ）求矩陣M的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量．

 

【答案】

（Ⅰ）由條件得矩陣（Ⅱ）是矩陣M屬于特征值的一個(gè)特征向量，是矩陣M屬于特征值 的一個(gè)特征向量．

【解析】(1)易求.

(2)由矩陣M，可知其特征多項(xiàng)式為,然后利用,可解出的特征值，有兩個(gè)值，然后分別求其特征向量即可

（Ⅱ）因?yàn)榫仃?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415403230302525/SYS201208241541129782325718_DA.files/image001.png">的特征多項(xiàng)式為，

令，解得特征值為，，

設(shè)屬于特征值的矩陣M的一個(gè)特征向量為，則，解得，取，得， 同理，對(duì)于特征值，解得，取，得， 6分

所以是矩陣M屬于特征值的一個(gè)特征向量，是矩陣M屬于特征值 的一個(gè)特征向量．

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)矩陣M是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍的伸壓變換矩陣．
（1）求逆矩陣M-1；
（2）求橢圓
x2
9
+
y2
4
=1在矩陣M-1作用下變換得到的新曲線的方程．

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（選修4-2：矩陣與變換）
設(shè)矩陣M是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍，且縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來4倍的伸壓變換，求橢圓
x2
9
+
y2
16
=1在M-1的作用下得到的新曲線的方程．

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設(shè)矩陣M是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍的伸壓變換矩陣．
（1）求逆矩陣M-1；
（2）求橢圓在矩陣M-1作用下變換得到的新曲線的方程．

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設(shè)矩陣M是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍的伸壓變換矩陣．
（1）求逆矩陣M-1；
（2）求橢圓在矩陣M-1作用下變換得到的新曲線的方程．

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