【題目】橢圓C: =1的右焦點F,過焦點F的直線l0⊥x軸,P(x0 , y0)(x0y0≠0)為C上任意一點,C在點P處的切線為l,l與l0相交于點M,與直線l1:x=3相交于N.
(I) 求證;直線 =1是橢圓C在點P處的切線;
(Ⅱ)求證: 為定值,并求此定值;
(Ⅲ)請問△ONP(O為坐標(biāo)原點)的面積是否存在最小值?若存在,請求出最小及此時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】證明:(Ⅰ)∵P(x0 , y0)在橢圓C: 上,
,即 ,
∴直線 過點P(x0 , y0),
,消去y,并利用 ,得 ,
即6x2﹣12x0x+6x02=0,即6(x﹣x02=0,∴x=x0 ,
∴直線 =1與橢圓C在點P處有且僅有一個交點,
綜上,直線 是橢圓C在點P處的切線.
(Ⅱ)在 中,令x=1,得y= ,∴M(1, ),
中,令x=3,得y= ,∴N(3, ),
又F(1,0),∴|FM|=| |=2| |,
|FN|= =2 =2 =2 ,
= 為定值.
解:(Ⅲ)在直線 中,令y=0,得x=
∴切線l與x軸的交點為G( ,0),
SONP= = =
= | || |
= | || |
=
=| |= ,
SONP= = = = ,
令3﹣x0= ,由﹣ ,得 ,且t ,
= = = = ,
∴當(dāng)t= ,x0=1時,△ONP(O為坐標(biāo)原點)的面積是存在最小值{SONP}min=
此時P(1, ).

【解析】(Ⅰ)推導(dǎo)出直線 過點P(x0 , y0),由 ,得 ,由此能證明直線 是橢圓C在點P處的切線.(Ⅱ)在 中,令x=1,M(1, ),令x=3,得N(3, ),由此求出|FM|,|FN|,由此能證明 為定值.(Ⅲ)求出切線l與x軸的交點為G( ,0),推導(dǎo)出SONP= = ,令3﹣x0= ,利用配方法能求出△ONP的面積的最小值及對應(yīng)的P點坐標(biāo).

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則稱函數(shù)f(x)為Ω函數(shù).
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課程

數(shù)學(xué)1

數(shù)學(xué)2

數(shù)學(xué)3

數(shù)學(xué)4

數(shù)學(xué)5

合計

選課人數(shù)

180

540

540

360

180

1800

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