已知拋物線y=(m-1)x2+(m-2)x-1(m∈R).
(1)當(dāng)m為何值時(shí),拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)?
(2)若關(guān)于x的方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0的兩個(gè)不等實(shí)根的倒數(shù)平方和不大于2,求m的取值范圍;
(3)如果拋物線與x軸相交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),且三角形ABC的面積等于2,試求m的值.
分析:(1)根據(jù)函數(shù)解析式得,二次項(xiàng)的系數(shù)不為零、判別式大于零,求出實(shí)數(shù)m的范圍;
(2)由韋達(dá)定理求出兩根之和、兩根之積,再求出
1
x1
+
1
x2
的值,根據(jù)完全平方和公式得出
1
x12
+
1
x22
的值,再由題意列出不等式,求出m的范圍;
(3)先求出C點(diǎn)的縱坐標(biāo),再把面積公式用(2)的兩根之差表示出來(lái),再由x1-x2與x1+x2、x1x2之間關(guān)系,列出關(guān)于m的不等式,求出m的范圍.
解答:解:(1)由題意知,有
m-1≠0
△=(m-2)2+4(m-1)>0
,解得m2>0且m≠1,
∴m的取值范圍為{m|m≠0且m≠1}.             
(2)在(1)的條件下,設(shè)(m-1)x2+(m-2)x-1=0的兩個(gè)不等實(shí)根為x1、x2
∴x1+x2=
m-2
1-m
,x1x2=
1
1-m
,∴
1
x1
+
1
x2
=
x1+x2  
x1x2
=m-2
1
x12
+
1
x22
=(
1
x1
+
1
x2
)
2
-
2
x1x2
=(m-2)2+2(m-1)≤2,即m2-2m≤0,
解得,0≤m≤2,
∴m的取值范圍為{m|0<m<1或1<m≤2}.
(3)由(2)知,A和B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為:x1、x2,設(shè)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為yc
把x=0代入解析式得,yc=-1,
∵三角形ABC的面積等于2,∴
1
2
|x1-x2|•|yc|=2,∴|x1-x2|=4,
∵x1+x2=
m-2
1-m
,x1x2=
1
1-m
,
∴(x1-x22=(x1+x22-4x1x2=16,即(
m-2
1-m
)
2
-4×
1
1-m
=16,
解得,m=
4
3
4
5
點(diǎn)評(píng):本題是有關(guān)二次函數(shù)與二次方程的關(guān)系,考查了一元二次方程根的分布問(wèn)題,以及系數(shù)關(guān)系,韋達(dá)定理的應(yīng)用:即x1-x2與x1+x2、x1x2之間的關(guān)系.
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x22
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(1)當(dāng)m為何值時(shí),拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)?

(2)若關(guān)于x的方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0的兩個(gè)不等實(shí)根的倒數(shù)平方和大于2,求m的取值范圍.

(3)如果拋物線與x軸相交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),且△ABC的面積等于2,試求m的值.

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已知拋物線y=(m-1)x2+(m-2)x-1(m∈R).
(1)當(dāng)m為何值時(shí),拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)?
(2)若關(guān)于x的方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0的兩個(gè)不等實(shí)根的倒數(shù)平方和不大于2,求m的取值范圍;
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