Question

14．已知在（2x+$\frac{3}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的兩倍．
（1）求n的值；
（2）求含x的項(xiàng)的系數(shù)；
（3）求展開式中系數(shù)的最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由${C}_{n}^{2}$：${C}_{n}^{1}$=2：1可解得n；
（2）設(shè)出其展開式的通項(xiàng)為T_r+1，令x的冪指數(shù)為1即可求得r的值；
（3）展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T_r+1，利用T_r+1項(xiàng)的系數(shù)≥T_r+2項(xiàng)的系數(shù)且T_r+1項(xiàng)的系數(shù)≥T_r項(xiàng)的系數(shù)即可．

解答 解（1）∵${C}_{n}^{2}$：${C}_{n}^{1}$=2：1，
∴n=5；
（2）設(shè)（2x+$\frac{3}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式的通項(xiàng)為T_r+1，則T_r+1=${C}_{5}^{r}$•2^5-r•3^r•x${\;}^{5-\frac{4}{3}r}$，
令5-$\frac{4}{3}$r=1得：r=3．
∴含x的項(xiàng)的系數(shù)為T₄=${C}_{5}^{3}$•2²•3³x=2160x；
（3）設(shè)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T_r+1，則$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{5}^{r}{2}^{5-r}{3}^{r}≥{C}_{5}^{r-1}{2}^{5-r}{3}^{r-1}}\\{{C}_{5}^{r}{2}^{5-r}{3}^{r}≥{C}_{5}^{r+1}{2}^{5-r-1}{3}^{r+1}}\end{array}\right.$，
∴r=4．
∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T₅=4860x${\;}^{\frac{2}{3}}$．

點(diǎn)評 本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是難點(diǎn)，考查解不等式組的能力，屬于難題．