Question

如圖長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=4，AD=2，E、F、G分別是DD₁、AB、CC₁的中點(diǎn)，則直線A₁E，F(xiàn)G所夾的角的余弦值為

0

．

Answer 1

分析：根據(jù)異面直線所成角的定義求解．

解答：解：建立以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD₁，分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系．
則A（2，0，0），A₁ （2，0，4），
因?yàn)镋、F、G分別是DD₁、AB、CC₁的中點(diǎn)，
所以E（0，0，2），F(xiàn)（2，2，0），G（0，4，2），
所以

A1E

=(-2，0，-2)，

FG

=(-2，2，2)，
因?yàn)?span id="iyw4e4d" class="MathJye">

A1E

?

FG

=(-2，0，-2)?(-2，2，2)=-2×(-2)-2×2=0，
所以

A1E

⊥

FG

，即A₁E⊥FG，
所以直線A₁E，F(xiàn)G所夾的角為90°，所以cos90°=0．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異面直線所成角的求法，利用向量法和坐標(biāo)法是解決空間夾角中，最常用的方法．