如圖，已知橢圓E的中心是原點O，其右焦點為F(2，0)，過x軸上一點A(3,0)作直線與橢圓E相交于P,Q兩點,且的最大值為.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)設(shè),過點P且平行于y軸的直線與橢圓E相交于另一點M,試問M,F,Q是否共線，若共線請證明；反之說明理由.

 

【答案】

(Ⅰ) ； (Ⅱ)參考解析

【解析】

試題分析：(Ⅰ)因為右焦點為F(2，0)，所以可得c=2,又因為過x軸上一點A(3,0)作直線與橢圓E相交于P,Q兩點,且的最大值為.所以.再利用橢圓中的關(guān)系式.即可求出b的值，從而可得結(jié)論.

(Ⅱ)假設(shè).通過以及點在橢圓上，消去.即可得一個用表示的一個等式.又由于.通過對比向量與即可得結(jié)論.

試題解析：（1）由題意可知：，則，，從而，故所求橢圓的方程為． 5分

（2）解：三點共線.

證明：，由已知得方程組

注意到，解得，因為，所以

,

又

，所以，從而三點共線。 12分

考點：1.橢圓的基本性質(zhì).2.向量的共線問題.3.橢圓的標(biāo)準方程.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點分別為A1、A2，上、下頂點分別為B1、B2．設(shè)直線A1B1的傾斜角的正弦值為
1
3
，圓C與以線段OA2為直徑的圓關(guān)于直線A1B1對稱．
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（1）求橢圓E的離心率；
（2）判斷直線A1B1與圓C的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若圓C的面積為π，求圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年江蘇省南通市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓E：的左、右頂點分別為、，

上、下頂點分別為、．設(shè)直線的傾斜角的正弦值為，圓與以線段為直徑的圓

關(guān)于直線對稱．

（1）求橢圓E的離心率；

（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）若圓的面積為，求圓的方程

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：江蘇模擬題 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓E：（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A1，A2，上、下頂點分別為B1，B2。設(shè)直線A1B1的傾斜角的正弦值為，圓C與以線段OA2為直徑的圓關(guān)于直線A1B1對稱，
（Ⅰ）求橢圓E的離心率；
（Ⅱ）判斷直線A1B1與圓C的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅲ）若圓C的面積為π，求圓C的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓E：的左、右頂點分別為、，上、下頂點分別為、．設(shè)直線的傾斜角的正弦值為，圓與以線段為直徑的圓關(guān)于直線對稱．

（1）求橢圓E的離心率；

（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）若圓的面積為，求圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分14分）

在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓E：的左、右頂點分別為、，

上、下頂點分別為、．設(shè)直線的傾斜角的正弦值為，圓與以線段為直徑的圓

關(guān)于直線對稱．

（1）求橢圓E的離心率；

（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）若圓的面積為，求圓的方程．

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