Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，上、下頂點(diǎn)分別為B₁、B₂．設(shè)直線A₁B₁的傾斜角的正弦值為

1

3

，圓C與以線段OA₂為直徑的圓關(guān)于直線A₁B₁對(duì)稱．

（1）求橢圓E的離心率；
（2）判斷直線A₁B₁與圓C的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若圓C的面積為π，求圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓E的焦距為2c（c＞0），因?yàn)橹本�A₁B₁的傾斜角的正弦值為

1

3

，所以

b

a2+b2

=

1

3

，由此能求出橢圓E的離心率．
（2）由e=

14

4

，設(shè)a=4k（k＞0），c=

14

k，則b=

2

k，于是A₁B₁的方程為：x-2

2

y+4k=0，故OA₂的中點(diǎn)（2k，0）到A₁B₁的距離d=

|2k+4k|

3

=2k，由此能夠證明直線A₁B₁與圓C相切．
（3）由圓C的面積為π知圓半徑為1，從而k=

1

2

，設(shè)OA₂的中點(diǎn)（1，0）關(guān)于直線A₁B₁：x-2

2

y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)為（m，n），則

n m-1 • 2 4 =-1 m+1 2 -2 2 • n 2 +2=0

，由此能求出圓C的方程．

解答：解：（1）設(shè)橢圓E的焦距為2c（c＞0），
因?yàn)橹本�A₁B₁的傾斜角的正弦值為

1

3

，所以

b

a2+b2

=

1

3

，
于是a²=8b²，即a²=8（a²-c²），所以橢圓E的離心率e=

c2 a2

=

7 8

=

14

4

．（4分）
（2）由e=

14

4

可設(shè)a=4k（k＞0），c=

14

k，則b=

2

k，
于是A₁B₁的方程為：x-2

2

y+4k=0，
故OA₂的中點(diǎn)（2k，0）到A₁B₁的距離d=

|2k+4k|

3

=2k，（6分）
又以O(shè)A₂為直徑的圓的半徑r=2k，即有d=r，
所以直線A₁B₁與圓C相切．（8分）
（3）由圓C的面積為π知圓半徑為1，從而k=

1

2

，（10分）
設(shè)OA₂的中點(diǎn)（1，0）關(guān)于直線A₁B₁：x-2

2

y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)為（m，n），
則

n m-1 • 2 4 =-1 m+1 2 -2 2 • n 2 +2=0

（12分）
解得m=

1

3

，n=

4 2

3

．所以，圓C的方程為(x-

1

3

)2+(y-

4 2

3

)2=1（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．