【題目】請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，是邊長(zhǎng)為的正方形硬紙片（如圖1所示），切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰三角形，再沿虛線(xiàn)折起，使得，，，四個(gè)點(diǎn)重合于圖2中的點(diǎn)，正好形成一個(gè)正四棱錐形狀的包裝盒（如圖2所示），設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為.

（1）若要求包裝盒側(cè)面積不小于，求的取值范圍；

（2）若要求包裝盒容積最大，試問(wèn)應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的容積.

【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，包裝盒容積最大為

【解析】

（1）結(jié)合已知可建立側(cè)面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，然后由側(cè)面積不小于，可建立關(guān)于的不等式，即可求得的取值范圍；
（2）先利用表示出的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求其最大值．

（1）在圖1中連結(jié)，交于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)，在圖2中連結(jié)，

因?yàn)?/span>是邊長(zhǎng)為的正方形，所以，

由，得，，

因?yàn)?/span>，即，所以.

因?yàn)?/span>，

由，得，所以.

答：的取值范圍是.

（2）因?yàn)樵?/span>中，，

所以，

，，

設(shè)，，

所以，

令，得或（舍去）.

列表得，

8

+

0

-

極大值

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，也是最大值，

所以當(dāng)時(shí)，的最大值為.

答：當(dāng)時(shí)，包裝盒容積最大為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率，分別是橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，圓的半徑為，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，在軸的上方交橢圓于點(diǎn).

(1)求直線(xiàn)的方程;

(2)求的值;

(3)設(shè)為常數(shù)，過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線(xiàn)，分別交橢圓于點(diǎn)，分別交圓于點(diǎn)，記三角形和三角的面積分別為.求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)其中a為常數(shù)，設(shè)e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求過(guò)切點(diǎn)為的切線(xiàn)方程；

（2）若在區(qū)間上的最大值為，求a的值；

（3）若不等式恒成立，求a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓：（）的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）點(diǎn)P，Q在橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線(xiàn)，的斜率之積為，求證：為定值；

（3）直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)以及此常數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，直四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面是邊長(zhǎng)的矩形，為的中點(diǎn)，

（1）求證：平面，

（2）求異面直線(xiàn)與所成的角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)于定義在上的函數(shù)，有下述命題：①若是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；②函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則為偶函數(shù)；③若對(duì)，有，則2是的一個(gè)周期；④函數(shù)與的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).其中正確的命題是______.（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為響應(yīng)綠色出行，某市在推出“共享單車(chē)”后，又推出“新能源分時(shí)租賃汽車(chē)”．其中一款新能源分時(shí)租賃汽車(chē)，每次租車(chē)收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成：①根據(jù)行駛里程數(shù)按1元/公里計(jì)費(fèi)；②行駛時(shí)間不超過(guò)分時(shí)，按元/分計(jì)費(fèi)；超過(guò)分時(shí)，超出部分按元/分計(jì)費(fèi)．已知王先生家離上班地點(diǎn)公里，每天租用該款汽車(chē)上、下班各一次．由于堵車(chē)、紅綠燈等因素，每次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)的時(shí)間 (分)是一個(gè)隨機(jī)變量．現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)時(shí)間，在各時(shí)間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如下表所示：

時(shí)間（分）

頻數(shù)

將各時(shí)間段發(fā)生的頻率視為概率，每次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)的時(shí)間視為用車(chē)時(shí)間，范圍為分．（1）寫(xiě)出王先生一次租車(chē)費(fèi)用（元）與用車(chē)時(shí)間（分）的函數(shù)關(guān)系式；（2）若王先生一次開(kāi)車(chē)時(shí)間不超過(guò)分為“路段暢通”，設(shè)表示3次租用新能源分時(shí)租賃汽車(chē)中“路段暢通”的次數(shù)，求的分布列和期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列與滿(mǎn)足，.

(1)若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)若,且數(shù)列是公比等于2的等比數(shù)列,求的值,使數(shù)列也是等比數(shù)列；

(3)若,且，數(shù)列有最大值與最小值,求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】

（本題滿(mǎn)分15分）已知m＞1，直線(xiàn)，

橢圓，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).

（Ⅰ）當(dāng)直線(xiàn)過(guò)右焦點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，，

的重心分別為.若原點(diǎn)在以線(xiàn)段

為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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