【題目】如圖,直四棱柱的底面是菱形,,,,E,M,N分別是,,的中點.
(1)證明:平面;
(2)求點C到平面的距離.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)連結(jié),,利用三角形中位線的性質(zhì)和線面平行的判定定理即可得證;
(2)過C作的垂線,垂足為H,利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可證平面,即的長即為C到平面的距離,在中利用三角形面積相等求出即可.
(1)證明:如圖所示:連結(jié),,因為M,E分別為,的中點,
所以,且,又因為N為的中點,所以.
由題設(shè)知,可得,故,即四邊形為平行四邊形,
所以,又平面,平面,所以平面.
(2)過C作的垂線,垂足為H,由已知可得,,
所以平面,故,因為,,
所以平面,故的長即為C到平面的距離,
由已知可得,,所以,
故,所以點C到平面的距離為.
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【題目】已知函數(shù)有如下性質(zhì):如果常數(shù),那么該函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).
(1)已知,利用上述性質(zhì),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域;
(2)對于(1)中的函數(shù)和函數(shù),若對任意,總存在,使得成立,求實數(shù)的值.
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【題目】如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)過AC的平面交BD于點E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
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【題目】每年9月第三個公休日是全國科普日.某校為迎接2019年全國科普日,組織了科普知識競答活動,要求每位參賽選手從4道“生態(tài)環(huán)保題”和2道“智慧生活題”中任選3道作答(每道題被選中的概率相等),設(shè)隨機變量ξ表示某選手所選3道題中“智慧生活題”的個數(shù).
(Ⅰ)求該選手恰好選中一道“智慧生活題”的概率;
(Ⅱ)求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3ax2﹣x+1(a∈R).
(1)當(dāng)a=2時,求曲線y=f(x)在點(1,f (1))處的切線方程;
(2)當(dāng)a<0時,設(shè)g(x)=f(x)+x.
①求函數(shù)g(x)的極值;
②若函數(shù)g(x)在[1,2]上的最小值是﹣9,求實數(shù)a的值.
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【題目】函數(shù)
(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的極值點的個數(shù);
(2)已知對任意的恒成立,求實數(shù)k的最大值.
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【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是正方形,平面,,分別是線段,的中點,.
(I)在棱上找一點,使得平面平面,請寫出點的位置,并加以證明;
(Ⅱ)求點到平面的距離.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,證明: (其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
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【題目】為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān),對本班50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表:
喜愛打籃球 | 不喜愛打籃球 | 合計 | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合計 | 50 |
已知在全部50人中隨機抽取1人抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為.
(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整;
(2)是否在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)?說明你的理由.下面的臨界值表供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005] | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中)
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