Question

【題目】函數(shù)

(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的極值點的個數(shù)；

(2)已知對任意的恒成立，求實數(shù)k的最大值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)-1

【解析】

（1）由題意，求得函數(shù)的導數(shù)，分類討論，得出函數(shù)的單調(diào)性，進而可求得函數(shù)的極值點的個數(shù)；

（2）設(shè)，先征得當時是成立的，再對時，總存在，作出證明，進而得到實數(shù)的最大值。

（1）

①當時，

，，

單調(diào)遞增，在上無極值點

②當時

在上單調(diào)遞減，，

存在使得，則為的極大值點；

在上單調(diào)遞增，，

存在使得，則為的極小值點；

在上存在兩個極值點

③當時

在上單調(diào)遞增，，

存在使得，則為的極小值點；

在上單調(diào)遞減，，

存在使得，則為的極大值點；

在上存在兩個極值點

綜上所述：當時，在上無極值點；當或時，在上有兩個極值點。

（2）設(shè)（）

①先證明時成立，證明過程如下：

，

，

，

，，

在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞增，

即對任意的，恒成立

②下證對，總存在， ，

，

，

，

當時，，

（i）當時，

（ii）當時，，

綜（i）（ii）可知，當時，

在上單調(diào)遞增

，

使得

時

在上單調(diào)遞減

時

即存在，綜上所述，的最大值為