【題目】設(shè)函數(shù)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=﹣ 和x=1處取得極值.
(1)求a,b的值及其單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)x∈[﹣1,2]不等式f(x)≤c2恒成立,求c的取值范圍.
【答案】
(1)解;f(x)=x3+ax2+bx+c,f'(x)=3x2+2ax+b
由 ,解得,a=﹣ ,b=﹣2,
f′(x)=3x2﹣x﹣2=(3x+2)(x﹣1),
函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表:
x | (﹣∞,﹣ ) | ﹣ | (﹣ ,1) | 1 | (1,+∞) |
f′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | ↑ | 極大值 | ↓ | 極小值 | ↑ |
所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(﹣∞,﹣ )和(1,+∞),遞減區(qū)間是(﹣ ,1).
(2)解;f(x)=x3﹣ x2﹣2x+c,x∈[﹣1,2],
當(dāng)x=﹣ 時(shí),f(x)= +c為極大值,而f(2)=2+c,所以f(2)=2+c為最大值.
要使f(x)<c2對(duì)x∈[﹣1,2]恒成立,須且只需c2>f(2)=2+c.
解得c<﹣1或c>2
【解析】(1)求出f′(x),因?yàn)楹瘮?shù)在x=﹣ 與x=1時(shí)都取得極值,所以得到f′(﹣ )=0且f′(1)=0聯(lián)立解得a與b的值,然后把a(bǔ)、b的值代入求得f(x)及f′(x),然后討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的增減區(qū)間;(2)根據(jù)(1)函數(shù)的單調(diào)性,由于x∈[﹣1,2]恒成立求出函數(shù)的最大值值為f(2),代入求出最大值,然后令f(2)<c2列出不等式,求出c的范圍即可
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在長(zhǎng)方體A1B1C1D1﹣ABCD中,AD=CD=4,AD1=5,M是線段B1D1的中點(diǎn).
(1)求證:BM∥平面D1AC;
(2)求直線DD1與平面D1AC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)F(x)= t(t﹣4)dt在[﹣1,5]上( )
A.有最大值0,無最小值
B.有最大值0,最小值
C.有最小值 ,無最大值
D.既無最大值也無最小值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0且f(﹣1)=0則不等式f(x)g(x)<0的解集為( )
A.(﹣1,0)∪(1,+∞)
B.(﹣1,0)∪(0,1)
C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
D.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A﹣BD﹣C,有如下四個(gè)結(jié)論:
(1)AC⊥BD;
(2)△ACD是等邊三角形
(3)AB與平面BCD所成的角為60°;
(4)AB與CD所成的角為60°.
則正確結(jié)論的序號(hào)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ< )的部分圖象如圖所示,將f(x)的圖象向左平移 個(gè)單位后的解析式為( )
A.y=2sin(2x﹣ )
B.y=2sin(2x+ )
C.y=2sin(2x)
D.y=2sin(2x+ )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】靖國(guó)神社是日本軍國(guó)主義的象征.中國(guó)人民珍愛和平,所以要堅(jiān)決反對(duì)日本軍國(guó)主義. 2013年12月26日日本首相安倍晉三悍然參拜靖國(guó)神社,此舉在世界各國(guó)激起輿論的批評(píng).某報(bào)的環(huán)球輿情調(diào)查中心對(duì)中國(guó)大陸七個(gè)代表性城市的1000個(gè)普通民眾展開民意調(diào)查. 某城市調(diào)查體統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表:
性別 中國(guó)政府是否 需要在釣魚島和其他爭(zhēng)議 問題上持續(xù)對(duì)日強(qiáng)硬 | 男 | 女 |
需要 | 50 | 250 |
不需要 | 100 | 150 |
(1) 試估計(jì)這七個(gè)代表性城市的普通民眾中,認(rèn)為 “中國(guó)政府需要在釣魚島和其他爭(zhēng)議問題上持續(xù)對(duì)日強(qiáng)硬” 的民眾所占比例;
(2) 能否有以上的把握認(rèn)為這七個(gè)代表性城市的普通民眾的民意與性別有關(guān)?
(3) 從被調(diào)查認(rèn)為“中國(guó)政府需要在釣魚島和其他爭(zhēng)議問題上持續(xù)對(duì)日強(qiáng)硬” 的民眾中,采用分層抽樣的方式抽取6人做進(jìn)一步的問卷調(diào)查,然后在這6人中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取2人進(jìn)行電視專訪,記被抽到的2人中女性的人數(shù)為,求的分布列.
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1= (n∈N*).
(1)計(jì)算a2 , a3 , a4 , 并由此猜想通項(xiàng)公式an;
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)增函數(shù),滿足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1
(1)求f(1)、f( )的值;
(2)若滿足f(x)+f(x﹣8)≤2,求x的取值范圍.
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