【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.
(1)當(dāng)b=1時,求曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程;
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)當(dāng)n∈N* , 且n≥2時證明不等式:ln[( +1)( +1)…( +1)]+ + +…+ > ﹣ .
【答案】
(1)解:f(x)=x2+ln(1+x),則f′(x)=2x+ ,
曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線斜率為f′(0)=1,
切點為(0,0),則切線方程為y=x
(2)解:f′(x)=2x+ = (x>﹣1),
當(dāng)b 時,f′(x)≥0,f(x)在x>﹣1上遞增;
當(dāng)b< ,f′(x)=0,解得,x1= ,x2= ,
①當(dāng)b<0時,x1<﹣1,x2>﹣1,f′(x)>0,得x>x2,f′(x)<0,得﹣1<x<x2,
②當(dāng)0<b< 時,x1>﹣1,x2>﹣1,f′(x)>0,得x>x2,﹣1<x<x1,f′(x)<0,得x1<x<x2;
綜上可得,當(dāng)b 時,f(x)的增區(qū)間為(﹣1,+∞);
當(dāng)b<0時,f(x)的增區(qū)間為( ,+∞),減區(qū)間為(﹣1, );
當(dāng)0<b< 時,f(x)的增區(qū)間為( ,+∞),(﹣1, )
減區(qū)間為( , )
(3)解:b=﹣1時,f(x)=x2﹣ln(x+1),
令h(x)=x3﹣f(x)=x3﹣x2+ln(x+1),h′(x)= 在x≥0恒正,
h(x)在[0,+∞)遞增,x>0時,h(x)>h(0)=0,即當(dāng)x>0時,x3﹣x2+ln(x+1)>0,
即ln(x+1)+x3>x2,對任意的n為正整數(shù),取x= ,有l(wèi)n(1+ )+ > .
則ln[( +1)( +1)…( +1)]+ + +…+
=ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln(1+ )+ + +…+
=ln(1+ )+ +ln(1+ )+ +…+ln(1+ )+
> + +…+ > + +…+
= + +…+
= ﹣
【解析】(1)求出導(dǎo)數(shù),求出切線的斜率和切點,由點斜式的方程即可得到;(2)求出導(dǎo)數(shù),討論當(dāng)b 時,當(dāng)b<0時,0<b< 時,令導(dǎo)數(shù)大于0得增區(qū)間,令導(dǎo)數(shù)小于0,得減區(qū)間,注意定義域;(3)b=﹣1時,f(x)=x2﹣ln(x+1),令h(x)=x3﹣f(x)=x3﹣x2+ln(x+1),求出導(dǎo)數(shù),運用單調(diào)性得到當(dāng)x>0時,x3﹣x2+ln(x+1)>0,即ln(x+1)+x3>x2,對任意的n為正整數(shù),取x= ,有l(wèi)n(1+ )+ > .再由對數(shù)的性質(zhì)和裂項相消求和即可得證.
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)全集U=R,集合M={x||x﹣ | },P={x|﹣1≤x≤4},則(UM)∩P等于( )
A.{x|﹣4≤x≤﹣2}
B.{x|﹣1≤x≤3}
C.{x|3<x≤4}
D.{x|3≤x≤4}
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=4x焦點為F,點D為其準線與x軸的交點,過點F的直線l與拋物線相交于A,B兩點,則△DAB的面積S的取值范圍為( )
A.[5,+∞)
B.[2,+∞)
C.[4,+∞)
D.[2,4]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了弘揚民族文化,某校舉行了“我愛國學(xué),傳誦經(jīng)典”考試,并從中隨機抽取了100名考生的成績(得分均為整數(shù),滿分100分)進行統(tǒng)計制表,其中成績不低于80分的考生被評為優(yōu)秀生,請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù),用頻率估計概率,回答下列問題.
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[50,60) | 5 | 0.05 |
[60,70) | a | 0.20 |
[70,80) | 35 | b |
[80,90) | 25 | 0.25 |
[90,100) | 15 | 0.15 |
合計 | 100 | 1.00 |
(I)求a,b的值及隨機抽取一考生恰為優(yōu)秀生的概率;
(Ⅱ)按頻率分布表中的成績分組,采用分層抽樣抽取20人參加學(xué)校的“我愛國學(xué)”宣傳活動,求其中優(yōu)秀生的人數(shù);
(Ⅲ)在第(Ⅱ)問抽取的優(yōu)秀生中指派2名學(xué)生擔(dān)任負責(zé)人,求至少一人的成績在[90,100]的概率.
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【題目】隨著智能手機的發(fā)展,微信越來越成為人們交流的一種方式.某機構(gòu)對使用微信交流的態(tài)度進行調(diào)查,隨機調(diào)查了 50 人,他們年齡的頻數(shù)分布及對使用微信交流贊成人數(shù)如表.
年齡(歲) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
贊成人數(shù) | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
(I)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面 2×2 列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認為年齡45歲為分界點對使用微信交流的態(tài)度有差異;
年齡不低于45歲的人 | 年齡低于45歲的人 | 合計 | |
贊成 | |||
不贊成 | |||
合計 |
(Ⅱ)若對年齡在[55,65),[65,75)的被調(diào)查人中隨機抽取兩人進行追蹤調(diào)查,記選中的4人中贊成使用微信交流的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望
參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d
參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖,數(shù)列{an}滿足an=n﹣1,輸入n=4,x=3,則輸出的結(jié)果v的值為( )
A.34
B.68
C.96
D.102
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【題目】已知函數(shù)y=f(x)的圖象與g(x)=logax(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于x軸對稱,且g(x)的圖象過點(9,2).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若f(3x1)>f(x+5)成立,求x的取值范圍.
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【題目】如圖,F(xiàn)1、F2分別是雙曲線 ﹣ =1(a>0,b>0)的兩個焦點,以坐標原點O為圓心,|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支交于A、B兩點,若△F2AB是等邊三角形,則雙曲線的離心率為( )
A.
B.2
C. ﹣1
D.1+
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高一年級500名學(xué)生中,血型為O的有200人,血型為A的有125人,血型為B的有125人,血型為AB型的有50人.為了研究血型與色弱的關(guān)系,要從中抽取一個容量為40的樣本,應(yīng)如何抽樣?寫出血型為AB型的抽樣過程.
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