Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知AB=1，BC=2，CD=4，AB∥CD，BC⊥CD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）已知點F在棱PD上，且PB∥平面FAC，求DF：FP．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊥AB根據(jù)面面垂直的判定定理推斷出PA⊥平面ABCD．進而利用線面垂直的性質推斷出PA⊥BD．連結AC∩BD=O，根據(jù)已知條件求得

AB

BC

，進而根據(jù)AB∥CD，BC⊥CD，判斷出Rt△ABC∽Rt△BCD．進而可知∠BDC=∠ACB，利用∠ACB+∠CBD=∠BDC+∠CBD=90°推斷出AC⊥BD，最后利用線面垂直的判定定理推斷出BD⊥平面PAC．
（2）PB∥平面FAC，PB?平面PBD，平面PBD∩平面FAC=FO，根據(jù)線面平行的性質推斷出FO∥PB，進而推斷出

DF

PF

=

DO

OB

，同時根據(jù)AB∥CD，且

BO

OD

=

AB

CD

=

1

4

可求得DF：FP．

解答： 證明（1）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊥AB，PA?平面PAB，
∴PA⊥平面ABCD．
∵BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD．連結AC∩BD=O，
∵AB=1，BC=2，CD=4，
∴

AB

BC

=

BC

CD

=

1

2

．
∵AB∥CD，BC⊥CD，
∴Rt△ABC∽Rt△BCD．
∴∠BDC=∠ACB．
∴∠ACB+∠CBD=∠BDC+∠CBD=90°．
則AC⊥BD．
∵AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC．
（2）∵PB∥平面FAC，PB?平面PBD，平面PBD∩平面FAC=FO，
∴FO∥PB，
∴

DF

PF

=

DO

OB

．
又∵AB∥CD，且

BO

OD

=

AB

CD

=

1

4

，
∴DF：FP=4：1．

點評：本題主要考查了線面垂直的性質和判定定理，線面平行的性質和判定定理的應用．注重了對學生基礎知識的考查．