Question

已知點(diǎn)F（0，

1

4

），動點(diǎn)P在直線l₁：y=-

1

4

上，線段PF的垂直平分線與直線l₁的過點(diǎn)P的垂線交于點(diǎn)M．
（1）求M點(diǎn)的軌跡C的方程；
（2）直線l₂：y=kx+b（k＞0）與軌跡C交于兩點(diǎn)A、B，與圓N：x²+（y-3）²=1相切于點(diǎn)Q，若Q為AB的中點(diǎn)，求直線l₂的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,圓的切線方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可得，點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，

1

4

）的距離等于點(diǎn)M到直線l₁：y=-

1

4

的距離，由拋物線的定義可得點(diǎn)M的軌跡是拋物線，從而求得方程．
（2）設(shè)弦AB的中點(diǎn)（a，b），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁²=y₁，x₂²=y₂，利用點(diǎn)差法，結(jié)合

b-3

a

•k=-1，a²+（b-3）²=1，求出k，a，b，即可求出直線l₂的方程．

解答： 解：（1）連接MF，
∵線段PF的垂直平分線與直線l₁的過點(diǎn)P的垂線交于點(diǎn)M，
∴|MF|=|PM|，即點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，

1

4

）的距離等于點(diǎn)M到直線l₁：y=-

1

4

的距離，
由拋物線的定義可得點(diǎn)M的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，以直線l₁：y=-

1

4

為準(zhǔn)線的拋物線，
方程為x²=y．
（2）設(shè)弦AB的中點(diǎn)（a，b），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁²=y₁，x₂²=y₂，
兩式相減，整理可得k=2a（k＞0），
又

b-3

a

•k=-1，a²+（b-3）²=1，
∴k=

3

，b=

5

2

，a=

3

2

，
∴直線l₂的方程為y=

3

x+

5

2

．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的定義與方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．