Question

如圖三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱長(zhǎng)均為2，∠CBB₁=∠ABB₁=120°，平面CBB₁C₁⊥平面ABB₁A₁，M是BA₁中點(diǎn)，N是CB₁中點(diǎn)．求證：MN∥平面ABC．

Answer 1

解：取B₁B的中點(diǎn)D，連接MD和ND
∵M(jìn)是BA₁中點(diǎn)，N是CB₁中點(diǎn)．
∴MD∥AB，ND∥BC
而MD?平面ABC，AB?平面ABC，ND?平面ABC，BC?平面ABC
∴MD∥平面ABC，ND∥平面ABC，而MD∩ND=D
∴平面ABC∥平面MND
而MN?平面MND
∴MN∥平面ABC．
分析：取B₁B的中點(diǎn)D，連接MD和ND，根據(jù)中位線定理可知MD∥AB，ND∥BC，而MD?平面ABC，AB?平面ABC，ND?平面ABC，BC?平面ABC，根據(jù)線面平行的判定定理可知MD∥平面ABC，ND∥平面ABC，而MD∩ND=D，再根據(jù)面面平行的判定定理可知平面ABC∥平面MND，而MN?平面MND，最后根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知MN∥平面ABC．
點(diǎn)評(píng)：判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無(wú)公共點(diǎn)）；②利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性質(zhì)定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性質(zhì)（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．