在平面直角坐標(biāo)系中,已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(cosωx,sinωx),其中a2+b2≠0且ω>0.設(shè)
(1)若,b=1,ω=2,求方程f(x)=1在區(qū)間[0,2π]內(nèi)的解集;
(2)若點(diǎn)A是過(guò)點(diǎn)(-1,1)且法向量為的直線l上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)x∈R時(shí),設(shè)函數(shù)f(x)的值域?yàn)榧螹,不等式x2+mx<0的解集為集合P.若P⊆M恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值;
(3)根據(jù)本題條件我們可以知道,函數(shù)f(x)的性質(zhì)取決于變量a、b和ω的值.當(dāng)x∈R時(shí),試寫(xiě)出一個(gè)條件,使得函數(shù)f(x)滿足“圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且在處f(x)取得最小值”.
【答案】分析:(1)根據(jù)向量數(shù)量積的定義表示出函數(shù)f(x)的解析式將,b=1,ω=2代入后化簡(jiǎn),再令f(x)=1解出x的值即可.
(2)先寫(xiě)出直線l的方程,得到a與b的關(guān)系代入f(x)求出函數(shù)f(x)的值域M,解出集合P后令P⊆M恒成立即可.
(3)根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性對(duì)b分大于0和小于0兩種情況進(jìn)行分析.
解答:解:(1)由題意
當(dāng),b=1,ω=2時(shí),,
則有,k∈Z.
,k∈Z.
又因?yàn)閤∈[0,2π],故f(x)=1在[0,2π]內(nèi)的解集為
(2)由題意,l的方程為-(x+1)+(y-1)=0?y=x+2.A在該直線上,故b=a+2.
因此,,
所以,f(x)的值域
又x2+mx=0的解為0和-m,故要使P⊆M恒成立,
只需,而
,所以m的最大值
(3)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182019249055396/SYS201310241820192490553022_DA/16.png">,
設(shè)周期
由于函數(shù)f(x)須滿足“圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,
且在處f(x)取得最小值”.
因此,根據(jù)三角函數(shù)的圖象特征可知,⇒ω=6n+3,n∈N.
又因?yàn),形?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182019249055396/SYS201310241820192490553022_DA/21.png">的函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心都是f(x)的零點(diǎn),故需滿足
而當(dāng)ω=6n+3,n∈N時(shí),
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182019249055396/SYS201310241820192490553022_DA/23.png">,n∈N;
所以當(dāng)且僅當(dāng)φ=kπ,k∈Z時(shí),f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;
此時(shí),⇒a=0,
(i)當(dāng)b>0,a=0時(shí),f(x)=sinωx,進(jìn)一步要使處f(x)取得最小值,
則有,k∈Z;
又ω>0,則有ω=12k-3,k∈N*;因此,由
ω=6n+3,n∈N×
ω=12k-3,n∈N*
可得ω=12m+9,m∈N;
(ii)當(dāng)b<0,a=0時(shí),f(x)=-sinωx,進(jìn)一步要使處f(x)取得最小值,
則有,k∈Z;
又ω>0,則有ω=12k+3,k∈N;因此,由
ω=6n+3,n∈N×
ω=12k-3,n∈N*
可得ω=12m+3,m∈N;
綜上,使得函數(shù)f(x)滿足“圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,
且在處f(x)取得最小值”的充要條件是:
“當(dāng)b>0,a=0時(shí),ω=12m+9(m∈N)或當(dāng)b<0,a=0時(shí),ω=12m+3(m∈N)”.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角函數(shù)的兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用.屬難題.平時(shí)要注意基礎(chǔ)知識(shí)的掌握遇到難題時(shí)方能迎刃而解.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為:pcos(θ-
π3
)=1
,M,N分別為曲線C與x軸,y軸的交點(diǎn),則MN的中點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 

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在平面直角坐標(biāo)系中,A(3,0)、B(0,3)、C(cosθ,sinθ),θ∈(
π
2
,
2
)
,且|
AC
|=|
BC
|

(1)求角θ的值;
(2)設(shè)α>0,0<β<
π
2
,且α+β=
2
3
θ
,求y=2-sin2α-cos2β的最小值.

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在平面直角坐標(biāo)系中,如果x與y都是整數(shù),就稱點(diǎn)(x,y)為整點(diǎn),下列命題中正確的是
 
(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)).
①存在這樣的直線,既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)
②如果k與b都是無(wú)理數(shù),則直線y=kx+b不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)
③直線l經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn)
④直線y=kx+b經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是:k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線.

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