Question

（1）設(shè)扇形的周長是定值為，中心角．求證：當(dāng)時(shí)該扇形面積最大；
（2）設(shè)．求證：．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

試題分析：（1）由扇形周長為定值可得半徑與弧長關(guān)系(定值)，而扇形面積，一般地求二元函數(shù)最值可消元化為一元函數(shù)(見下面詳解)，也可考慮利用基本不等式，求出最值，并判斷等號(hào)成立 條件，從而得解；（2）這是一個(gè)雙變元(和)的函數(shù)求最值問題，由于這兩個(gè)變元沒有制約關(guān)系，所以可先將其中一個(gè)看成主元，另一個(gè)看成參數(shù)求出最值(含有另一變元)，再求解這一變元下的最值，用配方法或二次函數(shù)圖象法.
試題解析：（1）證明：設(shè)弧長為，半徑為，則，     2分

所以，當(dāng)時(shí)，                            5分
此時(shí)，而
所以當(dāng)時(shí)該扇形面積最大                    7分
（2）證明：
                     9分
∵，∴，                      11分
∴當(dāng)時(shí)，     14分
又，所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
即．                                  16分
法二：
              9分
∵，,                      11分
∴當(dāng)時(shí)，
，          14分
又∵，∴
當(dāng)時(shí)取等號(hào)
即．                                  16分