Question

【題目】已知函數(shù)，（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，m、n為常數(shù)），函數(shù)定義為：對每一個給定的實數(shù)x，

（1）當(dāng)m、n滿足什么條件時，對所有的實數(shù)x恒成立；

（2）設(shè)a、b是兩個實數(shù)，滿足且m，當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間的上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和（用含a、b的式子表示）（閉區(qū)間的長度定義為）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)題意得到恒成立，從而得到，結(jié)合絕對值不等式，得到答案；（2）分，，三種情況進(jìn)行討論，根據(jù)和的圖像，得到的圖像，根據(jù)函數(shù)圖像進(jìn)行分析，得到答案.

（1）因為，

所以要得到對所有的實數(shù)x恒成立，

則恒成立，即恒成立

則，取對數(shù)得：恒成立

而

所以、應(yīng)滿足，

故時，對任意實數(shù)x恒成立.

（2）①當(dāng)時，，作出和的函數(shù)圖像，如圖所示，

根據(jù)，可得到圖像，如圖所示，

所以可以得到，

即，即，

所以得到，

，

由圖可知，此時函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為

；

②當(dāng)時，，作出和的函數(shù)圖像，如圖所示，

根據(jù)根據(jù)，可得到圖像，如圖所示，

所以可以得到，

即，即，

所以得到，

，

由圖可知，此時函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為

；

③當(dāng)時，由（1）可知，，

此時的函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，如圖所示，

根據(jù)對稱性可判斷，

此時函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為

，

綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為.