Question

已知函數(shù)f（x）=cos2x-2sinx+1．
（1）若當(dāng)x∈R時，求f（x）的最小值及相應(yīng)的值．
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=msinx+2m，且當(dāng)x∈[

π

6

，

2π

3

]時，f（x）＞g（x）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用余弦函數(shù)的倍角公式，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求f（x）的最小值及相應(yīng)的值．
（2）f（x）＞g（x）恒成立等價為f（x）_min＞g（x）_max恒成立即可．

解答： 解：（1）f（x）=cos2x-2sinx+1=1-2sin²x-2sinx+1=-2sin²x-2sinx+2=-2（sinx+

1

2

）²+

5

2

；
∵-1≤sinx≤1，∴當(dāng)sinx=1時，函數(shù)f（x）確定最小值為-2-2+2=-2，此時x=2kπ+

π

2

．
（2）若x∈[

π

6

，

2π

3

]，則sinx∈[

1

2

，1]，故當(dāng)x∈[

π

6

，

2π

3

]時，f（x）確定最小值為-2，
要使當(dāng)x∈[

π

6

，

2π

3

]時，f（x）＞g（x）恒成立，
則滿足g（x）_max＜-2，
∵g（x）=msinx+2m=m（sinx+2），
∴若m≥0，則不等式g（x）_max＜-2，不成立，
若m＜0，
∵sinx∈[

1

2

，1]，
∴sinx+2∈[

5

2

，3]，
則當(dāng)sinx+2=

5

2

時，g（x）_max=

5

2

m，
由

5

2

m＜-2，得m＜-

4

5

，
故實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-

4

5

）．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的最值以及應(yīng)用，利用倍角公式以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．