【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1 ， ∠BAA1=60°

（1）證明：AB⊥A1C；
（2）若AB=CB=2，A1C= ，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積．

【答案】
（1）證明：如圖，

取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OA1，A1B．

因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)C⊥AB．

由于A(yíng)B=AA1， ，故△AA1B為等邊三角形，

所以O(shè)A1⊥AB．

因?yàn)镺C∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C．

又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C；


（2）解：由題設(shè)知△ABC與△AA1B都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

所以 ．

又 ，則 ，故OA1⊥OC．

因?yàn)镺C∩AB=O，所以O(shè)A1⊥平面ABC，OA1為三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．

又△ABC的面積 ，故三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積 ．


【解析】（1）由題目給出的邊的關(guān)系，可想到去AB中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OA1 ， 可通過(guò)證明AB⊥平面OA1C得要證的結(jié)論；（2）在三角形OCA1中，由勾股定理得到OA1⊥OC，再根據(jù)OA1⊥AB，得到OA1為三棱柱ABC﹣A1B1C1的高，利用已知給出的邊的長(zhǎng)度，直接利用棱柱體積公式求體積．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行才能正確解答此題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）= 是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）判斷并證明f（x）在（﹣∞，+∞）上的單調(diào)性；
（3）若f（k3x）+f（3x﹣9x+1）＞0對(duì)任意x≥0恒成立，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若函數(shù)f（x）=ax3﹣bx+4，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）有極值為 ， （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）=k有3個(gè)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知命題p：方程 表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)，命題q：點(diǎn)（m，1）在橢圓 的內(nèi)部；命題r：函數(shù)f（m）=log2（m﹣a）的定義域；
（1）若p∧q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若p是r的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（用空間向量坐標(biāo)表示解答）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，D為AB的中點(diǎn)．

（1）求證：AC1∥面B1CD
（2）求直線(xiàn)AA1與面B1CD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知集合A={x|x2﹣px﹣2=0}，B={x|x2+qx+r=0}，若A∪B={﹣2，1，5}，A∩B={﹣2}，求p+q+r的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）定義在（0，+∞）上，f（1）=0，導(dǎo)函數(shù)f′（x）= v，g（x）=f（x）+af′（x）．
（1）若a＜0，試判斷g（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（2）若g（x）在[1，e]上的最小值為 ，求a的值；
（3）證明：當(dāng)a≥1時(shí)，g（x）＞ln（x+1）在（0，+∞）上恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，設(shè)圓弧x2+y2=1（x≥0，y≥0）與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的扇形區(qū)域?yàn)镸，過(guò)圓弧上中點(diǎn)A做該圓的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形區(qū)域?yàn)镹．現(xiàn)隨機(jī)在區(qū)域N內(nèi)投一點(diǎn)B，若設(shè)點(diǎn)B落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P，則P的值為（　　）

A.
B.
C.
D.

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