Question

已知函數(shù)f(x)=log2

1+x

1-x

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）證明函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅲ）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)使函數(shù)解析式有意義的原則，構(gòu)造關(guān)于x的不等式，解不等式即可得到函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）由（I）中結(jié)論，可以得到函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而判斷f（x）與f（-x）的關(guān)系，即可得到函數(shù)的奇偶性；
（III）任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)值的差，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，判斷差的符號(hào)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由

1+x

1-x

＞0，可得

1+x＞0 1-x＞0

或

1+x＜0 1-x＜0.

可得-1＜x＜1．
即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）．              …（4分）
（Ⅱ）由f(-x)=log2

1-x

1+x

=-log2

1+x

1-x

=-f(x)，
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．                   …（8分）
（Ⅲ）任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=log2

1+x1

1-x1

-log2

1+x2

1-x2

=log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

=log2

1+x1-x2+x1x2

1-x1+x2+x1x2

，
由x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
可知0＜1+x₁-x₂+x₁x₂＜1-x₁+x₂+x₁x₂，
所以

1+x1-x2+x1x2

1-x1+x2+x1x2

＜1，
可得log2

1+x1-x2+x1x2

1-x1+x2+x1x2

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在（-1，1）為增函數(shù)．                …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的奇偶性的判斷，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，其中熟練掌握函數(shù)單調(diào)性，奇偶性的定義，即可得到答案．