已知函數(shù)的圖象在點為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線斜率為3.
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)若,且          對任意恒成立,求的最大值;
(Ⅲ)當(dāng)時,證明

(1).(2)整數(shù)的最大值是3.(3)見解析
第一問中利用,,以及函數(shù)的圖像在點處的切線斜率為3,所以,得a=1
第二問中利用對任意恒成立,即對任意恒成立.構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)來判定單調(diào)性求解最值。第三問中,由(2)知,上的增函數(shù),
所以當(dāng)時,
然后分析得證。
(1)解:因為,所以.…………………1分
因為函數(shù)的圖像在點處的切線斜率為3,
所以,即.所以.……………………………2分
(2)解:由(1)知,,
所以對任意恒成立,即對任意恒成立.………………………3分
,則,…………………………………4分
,則,
所以函數(shù)上單調(diào)遞增.……………5分
因為,
所以方程上存在唯一實根,且滿足
當(dāng),即,當(dāng),即,…6分
所以函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
所以.…7分
所以.故整數(shù)的最大值是3.……8分
(3)證明1:由(2)知,上的增函數(shù),……………9分
所以當(dāng)時,.………………10分
.整理,得

因為,所以
.即.所以
證明2:構(gòu)造函數(shù)
,…………………………9分
.……………………………10分
因為,所以
所以函數(shù)上單調(diào)遞增. 因為, 所以
所以


.即
所以
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(13分)已知是函數(shù)的一個極值點.
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)。
(1)求函數(shù)在區(qū)間上最小值
(2)對(1)中的,若關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍;
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(本小題14分)設(shè)函數(shù),曲線過P(1,0),且在P點處的切斜線率為2.
(I)求a,b的值;
(II)證明:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知定義在R 上的可導(dǎo)函數(shù)滿足:當(dāng)時,;當(dāng)時,.則下列結(jié)論:①其中成立的個數(shù)是(  )
A.1   B.2 C.3  D.4

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函數(shù)的大致圖像是(   )   

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)時,求曲線處的切線方程;
(2)當(dāng)時,求的極大值和極小值;
(3)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù).
(Ⅰ)若曲線在點處的切線與直線垂直,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對于都有成立,試求的取值范圍;
(Ⅲ)記.當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

函數(shù)f(x)=x3-ax+1在區(qū)間(1,+)內(nèi)是增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是(  )
A.a(chǎn)<3 ;B.a(chǎn)>3 ;C.a(chǎn)3;D.a(chǎn)3

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